[論文レビュー] Remarks on the completeness of trajectories of accelerated particles in Riemannian manifolds and plane waves

Anna María Candela, Alfonso Romero+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間に依存するポテンシャルを伴うリーマン多様体における加速粒子の軌道の新たな完全性基準を確立し、古典的な結果を非自励系へと拡張する。これらの結果を応用して、一般化平面波時空の測地的完全性を証明し、ポテンシャルの成長および勾配が適切に有界である場合に完全性が成立することを示し、pp波および平面波の安定性結果を一般化する。

ABSTRACT

Recently, classical results on completeness of trajectories of Hamiltonian systems obtained at the beginning of the seventies, have been revisited, improved and applied to Lorentzian Geometry. Our aim here is threefold: to give explicit proofs of some technicalities in the background of the specialists, to show that the introduced tools allow to obtain more results for the completeness of the trajectories, and to apply these results to the completeness of spacetimes that generalize classical plane and pp-waves.

研究の動機と目的

• 非自励系に時間に依存するポテンシャルを含む場合の、自励系における軌道の完全性に関する古典的結果を非自励系へと拡張すること。
• 非自励リーマン力学における軌道完全性を裏付ける技術的補題および定理の厳密な証明を提供すること。
• 発展させた枠組みを、古典的pp波および平面波を一般化する一般化平面波（GPW）時空の測地的完全性に応用すること。
• 波関数Hの有界性および成長条件に基づいて、GPWにおける測地的完全性の十分条件を確立すること。
• 一般化平面波のクラスにおいて、波形の摂動に対して測地的完全性が安定であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、$\frac{D\dot{\gamma}}{dt} = F_{(\gamma(t),t)}\dot{\gamma}(t) - \nabla^{M_0}V(\gamma(t),t)$ の形をした2階微分方程式を分析する。ここで、$F$ は時間に依存する(1,1)テンソル場であり、$V$ は時間に依存するポテンシャルである。
• $F$ の自己随伴部 $S$ を導入し、$\|S(t)\|$ が有限時間区間で有界である条件を定義することで、力項の影響を制御する。
• 解の成長をポテンシャルおよびその勾配の振る舞いと関連付けるための比較補題を構築し、完全性解析を可能にする。
• この枠組みを、$M = M_0 \times \mathbb{R}^2$ の形をした時空に適用し、計量 $g = g_0 + 2dudv + \mathcal{H}(x,u)du^2$ を持つ。ここで $\mathcal{H}$ は一般化平面波を定義する。
• 有効ポテンシャル $V(x,u) = -\frac{1}{2}\mathcal{H}(x,u)$ に従う軌道の完全性は、定理3.2により時空の測地的完全性と関連づけられる。
• 十分条件が導出され、$\mathcal{H} \leq \beta_0(u)$ および $\left|\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\right| \leq \alpha_0(u)(\beta_0(u) - \mathcal{H})$ を満たすことで、$\mathcal{H}$ 及びその微分の有界な成長のもとで完全性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するポテンシャルおよび力場を伴う粒子の軌道が、リーマン多様体上で完全になる条件は何か？
• RQ2 力場が自己随伴でも反対称でもない非自励系において、軌道の完全性をどのように解析できるか？
• RQ3 一般化平面波時空における測地的完全性を保証する波形 $\mathcal{H}(x,u)$ に対する十分な幾何学的および解析的条件は何か？
• RQ4 リーマン設定における軌道の完全性と、それに対応するローレンツ時空の測地的完全性の関係は何か？
• RQ5 古典的平面波およびpp波の完全性は、波関数の摂動に対して一般化され、安定であると示せるか？

主な発見

• 本稿は、時間に依存するポテンシャルおよび一般力場を伴う非自励系における新たな完全性定理（定理2.3）を証明し、従来の自励系からの結果を非自励系へと拡張する。
• 一般化平面波時空の測地的完全性が、方程式 $\frac{D\dot{\gamma}}{dt} = \frac{1}{2}\nabla^{M_0}\mathcal{H}(\gamma(t),t)$ に従う軌道の完全性と同値であることを確立する。
• 補題3.3は、測地的完全性の十分条件を提供する：連続関数 $\alpha_0, \beta_0$ に対して $\mathcal{H}(x,u) \leq \beta_0(u)$ および $\left|\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\right| \leq \alpha_0(u)(\beta_0(u) - \mathcal{H})$ が成り立つならば、時空は測地的に完全である。
• 補題3.4は、$\nabla^{M_0}\mathcal{H}$ が有限時間内に $M_0$ に対して線形に成長し、$(M_0, g_0)$ が完全であるならば、一般化平面波は測地的に完全であることを示す。
• 結果は、一般化平面波のクラスにおける測地的完全性の安定性を示し、既知のpp波および古典的平面波の結果を一般化する。
• 解析により、リーマン設定における軌道の完全性が、関連する時空の測地的完全性を完全に決定することが明らかになった。これにより、ローレンツ的問題がリーマン的問題に還元される。