[論文レビュー] Remarks on the Fundamental Lemma for stable twisted Endoscopy of Classical Groups

Joachim Ballmann, Rainer Weissauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、古典的群における安定なねじれ付きエンドスコピーの基本的補題を、$Θ$-ねじれ付き軌道積分の一致問題を、$\mathrm{SO}_{2n+1}$ および $\mathrm{Sp}_{2n}$ に対する通常の安定軌道積分に関する予想的命題（$BC$-予想）に還元することによって確立する。カジダンのテクニックと位相的ジョルダン分解を用いて、$\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}$ と $\mathrm{Sp}_{2n}$ の類似する半単純元の一致が、安定軌道積分を等しくすることを示している。これは、より小さいランクにおける $BC_n$-予想が成り立つものと仮定しての結果である。

ABSTRACT

The twisted fundamental lemmas for three series of stable twisted endoscopy (Sp_{2n} to PGL_{2n+1}, GSpin_{2n+1} to GL_{2n} imes GL_1, Sp_{2n} to SO_{2n+2}) will be reduced to a fundamental-lemma-like statement for ordinary (i.e. untwisted) stable orbital integrals on the groups $\SO_{2n+1}$ of type $B_n$ resp. $\SP_{2n}$ of type $C_n$. This manusript, written around 2001, anticipates similar results of Waldspurger (2008), and may be used to reduce the twisted fundamental lemma to the work of Ngo. The original aim was to reduce the fundumantal lemma for the lift from Sp_4 to PGL_5 to the twisted fundamental lemma for the lift from GSp_4=GSpin_5 to Gl_4 imes GL_1.

研究の動機と目的

• 古典的群における安定ねじれ付きエンドスコピーの基本的補題を確立すること、特に $\mathrm{Sp}_{2n}$ から $\widetilde{\mathrm{PGL}}_{2n+1}$ および関連群への上昇に関して。
• $\Theta$-ねじれ付き基本的補題を、$\mathrm{SO}_{2n+1}$ および $\mathrm{Sp}_{2n}$ に対する通常の安定軌道積分に関する予想的命題（$BC_n$-予想）に還元すること。
• $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ と $\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ の類似する半単純元が一致する場合、それに対応する安定軌道積分が等しくなることを、$m \leq n$ に対して $BC_m$-予想が成り立つものと仮定して証明すること。
• $\mathrm{GSp}_4$ に関連するシムーラ多様体上の自動形式表現およびガロア表現の理論のための基礎的道具を提供すること。
• 位相的ジョルダン分解と $p$-進群における中心化子解析を通じて、ねじれ付きとねじれなしの軌道積分の関係を明確にすること。

提案手法

• 補題 5.5 におけるカジダンのテクニックを適用し、$\widetilde{G}$ 上の $\Theta$-ねじれ付き軌道積分をエンドスコピック群 $H$ 上の安定軌道積分に関連付ける。
• 位相的ジョルダン分解を用いて、$\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ および $\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ の元を半単純部とユニポテンツ部に分解し、成分ごとの一致に帰着させる。
• $\mathrm{SO}_{2n+1}(\mathcal{O}_F)$ と $\mathrm{Sp}_{2n}(\mathcal{O}_F)$ の正規的で位相的にユニポテンツな要素間の $BC$-一致を用いて、それらの安定軌道積分を等しくする。
• $\mathrm{O}_{2n+2}(\mathcal{O}_F)$ 内の代表元を用いて、$\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ の共役類を分析し、$\det = 1$ および $\det = -1$ の成分を区別する。
• 補題 5.7 を適用して、中心化子の積上での安定軌道積分を分解し、$\mathrm{SO}_{2n+2}^s$ と $\mathrm{SO}_{2n+2}^{s''}$ が代数群として同型であるという事実を利用する。
• $\Theta$-作用を用いて $\widetilde{G} = G \rtimes \langle \Theta \rangle$ を定義し、$\Theta(g) = J \cdot {}^t g^{-1} \cdot J^{-1}$ とすることで、ねじれ付きエンドスコピーをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\widetilde{\mathrm{PGL}}_{2n+1}$ 上の $\Theta$-ねじれ付き軌道積分が、$\mathrm{Sp}_{2n}$ 上の安定軌道積分と一致する条件は何か？
• RQ2 ねじれ付きエンドスコピーの基本的補題を、$\mathrm{SO}_{2n+1}$ および $\mathrm{Sp}_{2n}$ 上の通常の安定軌道積分に関する命題にどのように還元できるか？
• RQ3 $BC$-一致は、外部自己同型を持つ古典的群間の安定軌道積分をどのように関連付けるか？
• RQ4 位相的ジョルダン分解と中心化子構造は、$p$-進群における軌道積分の一致にどのように影響するか？
• RQ5 与えられた一致条件の下で、$\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ と $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ の安定共役類の正確な関係は何か？

主な発見

• $BC_1$-予想が成り立つものと仮定すれば、$\mathrm{Sp}_4$ から $\widetilde{\mathrm{PGL}}_5$ への安定上昇に関する基本的補題が確立される。
• $\gamma \in \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ と $g \in \widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ が半単純元を一致する場合、$m \leq n$ に対して $BC_n$-予想が成り立つ限り、安定軌道積分は $O^{st}_{g}(1,\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}) = O^{st}_{\gamma}(1,\mathrm{Sp}_{2n})$ を満たす。
• $\gamma \in \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ が $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 内のいかなる要素とも一致しない場合、$O^{st}_{\gamma}(1,\mathrm{Sp}_{2n}) = 0$ となる。これは一致条件が必要不可欠であることを確認する。
• 証明は、元を位相的ジョルダン成分 $u_+, u_-, u_*$（$\mathrm{SO}_{2n+1}$ に対して）および $v_+, v_-, v_*$（$\mathrm{Sp}_{2n}$ に対して）に分解することに依存し、$u_\pm$ と $v_\pm$ 間の $BC$-一致が成り立つ。
• 行列式が $-1$ である $s \in \mathrm{O}_{2n+2}(\mathcal{O}_F)$ に対する中心化子 $\mathrm{SO}_{2n+2}^s$ は、$\mathrm{SO}_{2r_{\pm}+1}$ と $\mathrm{Sp}_{2g}$ 上の中心化子の積と同型であり、これにより積分の分解が可能になる。
• 中心化子の2つの連結成分に起因する $\frac{1}{2}$ の因子が、$s$ と $s''$ の2つの共役類に起因する $2$ の因子によって相殺され、軌道積分の和における等式が保たれる。