[論文レビュー] Remarks on the Fundamental Solution to Schrödinger Equation with Variable Coefficients

Kenichi Ito, Shu Nakamura|ArXiv.org|Dec 25, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変数係数をもつシュレーディンガー作用素の時間発展演算子 $ e^{-itH} $ が、$ e^{-itH_0}W(t) $ の形に分解可能であることを確立している。ここで $ W(t) $ は、古典的散乱正準関係に微局所的に関連するフーリエ積分作用素（FIO）である。非捕獲条件および $ \mu = 2 $ の短距離仮定の下で、発展演算子は散乱フローに沿って微局所的台を持つことが示され、エゴロフ型定理およびビーツ型特徴付けに基づく新規な技法によりハッセルとウンシュの結果が拡張されている。

ABSTRACT

We consider Schrödinger operators $H$ on $R^n$ with variable coefficients. Let $H_0=-\frac12 riangle$ be the free Schrödinger operator and we suppose $H$ is a "short-range" perturbation of $H_0$. Then, under the nontrapping condition, we show the time evolution operator: $e^{-itH}$ can be written as a product of the free evolution operator $e^{-itH_0}$ and a Fourier integral operator $W(t)$, which is associated to the canonical relation given by the classical mechanical scattering. We also prove a similar result for the wave operators. These results are analogous to results by Hassell and Wunsch, but the assumptions, the proof and the formulation of results are considerably different. The proof employs an Egorov-type theorem similar to those used in previous works by the authors combined with a Beals-type characterization of Fourier integral operators.

研究の動機と目的

• 変数係数をもつシュレーディンガー作用素の時間発展演算子 $ e^{-itH} $ の微局所的構造を同定すること。
• 非捕獲および短距離仮定の下で、$ e^{-itH} $ が自由発展演算子 $ e^{-itH_0} $ とフーリエ積分作用素 $ W(t) $ に分解されることを示すこと。
• $ W(t) $ がハミルトニアンフローを介して古典的散乱正準関係に微局所的に関連することを確立すること。
• エゴロフ型定理およびFIOのビーツ型特徴付けに基づく、先行研究とは異なる新規な証明戦略を提示すること。
• 非捕獲方向の錐型近傍にまで、微局所的に一般化されたFIO構造への一般化を達成すること。

提案手法

• 著者らの前回の研究から適応されたエゴロフ型定理を用い、$ W(t) $ の作用を古典的ハミルトニアンフローに関連づける。
• フーリエ積分作用素のビーツ型特徴付けを適用し、$ W(t) $ が要求される正則性および振動積分構造を満たすことを検証する。
• 運動エネルギーハミルトニアン $ H_k $ における古典的軌道 $ (y(t), \eta(t)) $ の漸近展開に依拠し、$ t \to \pm\infty $ における $ z_\pm $ および $ \xi_\pm $ の推移を評価する。
• 微分の順序 $ |\alpha| + |\beta| $ についての帰納法を用い、散乱データ $ z_\pm, \xi_\pm $ の微分の成長を制御する。ダランベールの公式と重み付き $ L^\infty $ 評価を用いる。
• 短距離条件における $ \mu = 2 $ が、漸近展開の収束を保証する十分な衰減 $ a_{jk}(x) - \delta_{jk} $ および $ V(x) $ を提供する。
• 微局所的分割単位を用いて問題を局所化し、全空間の非捕獲結果を錐型近傍における局所的FIO構造へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数をもつシュレーディンガー作用素の時間発展演算子 $ e^{-itH} $ は、微局所的に自由発展演算子とフーリエ積分作用素に分解可能か？
• RQ2 作用素 $ W(t) = e^{itH_0}e^{-itH} $ が、古典的散乱正準関係に微局所的に関連するFIOであるための条件は何か？
• RQ3 微局所的波フロント集合 $ \operatorname{WF}_{\operatorname{sc}}(W(t)) $ は、古典的散乱データ $ (z_\pm, \xi_\pm) $ とどのように関係するか？
• RQ4 短距離条件におけるパrameter $ \mu $ は、散乱データの存在性・正則性およびFIO構造にどのような役割を果たすか？
• RQ5 全空間の非捕獲仮定を緩和することで、局所的FIO表現をどの程度まで得られるか？

主な発見

• 仮定Aおよび $ \mu = 2 $ の下で、時間発展演算子は $ e^{-itH} = e^{-itH_0}W(t) $ を満たし、ここで $ W(t) $ は古典的散乱正準関係に微局所的に関連するFIOである。
• $ t \in \mathbb{R}_\pm $ の各々について、$ W(t) $ は正準変換 $ w_\pm $ に関連するFIOであり、初期データ $ (x_0, \xi_0) $ を散乱データ $ (z_\pm, \xi_\pm) $ に写す。
• $ W(t) $ の微局所的波フロント集合は、ラグランジュ部分多様体 $ \Lambda_\pm = \{ (y,\eta,x,-\xi) \mid (y,\eta) = w_\pm(x,\xi) \} $ に含まれ、古典的軌道に沿った特異点の伝播を反映している。
• 散乱データ $ z_\pm $ および $ \xi_\pm $ は存在し、それぞれ $ \xi $ に関して同次的（0次および1次）で滑らかである。これは $ \mu = 2 $ 条件のもとで成立する。
• 証明により、$ z_1 - z $ および $ \eta_1 - \eta $ の微分に対する一様評価が得られ、$ |\partial_x^\alpha \partial_\xi^\beta (z_1 - z)| \leq C|t|\langle \xi \rangle^{1-\mu - |\beta|} $ が成り立つ。これは散乱写像の正則性を示唆する。
• 結果は微局所的に成立する：$ (x_0, \xi_0) $ が前方非捕獲であるならば、$ W(t) $ は $ (x_0, \xi_0) $ の錐型近傍で $ w_+ $ に関連するFIOである。これは全空間の結果を局所的に拡張している。