[論文レビュー] Remarks on the geometry of almost complex 6-manifolds

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Aug 23, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、6次元多様体上の擬可積分的 almost complex 構造の概念を導入する。これは、複素多様体上の正則バンドルに類似した非自明な擬正則バンドルを支持する非可積分的構造のクラスである。本稿では、almost complex 構造上の2パラメータ族の1次関数を構成し、そのEuler-Lagrange方程式を計算する。また、S⁶ 上の nearly Kähler 構造および G₂-不変構造が、その条件がjet空間内で包合的でも滑らかでもないにもかかわらず、擬可積分的であることを示す。

ABSTRACT

This article is mostly a writeup of two talks, the first given in the Besse Seminar at the Ecole Polytechnique in 1998 and the second given at the 2000 International Congress on Differential Geometry in memory of Alfred Gray in Bilbao, Spain. It begins with a discussion of basic geometry of almost complex 6-manifolds. In particular, I define a 2-parameter family of intrinsic first-order functionals on almost complex structures on 6-manifolds and compute their Euler-Lagrange equations. It also includes a discussion of a natural generalization of holomorphic bundles over complex manifolds to the almost complex case. The general almost complex manifold will not admit any nontrivial bundles of this type, but there is a large class of nonintegrable almost complex manifolds for which there are such nontrivial bundles. For example, the standard almost complex structure on the 6-sphere admits such nontrivial bundles. This class of almost complex manifolds in dimension 6 will be referred to as quasi-integrable. Some of the properties of quasi-integrable structures (both almost complex and unitary) are developed and some examples are given. However, it turns out that quasi-integrability is not an involutive condition, so the full generality of these structures in Cartan's sense is not well-understood.

研究の動機と目的

• 6次元における非可積分的 almost complex 構造への正則バンドルの一般化を展開すること。
• Calibrated geometryにおける変分原理を動機として、almost complex 構造上の2パラメータ族の1次関数を定義・研究すること。
• 一般化されたヘルミート・ヤン・ミルズ接続が存在し、良好に振る舞う非可積分的 almost complex 構造のクラス—擬可積分的構造—を同定すること。
• これらの関数とその臨界点の幾何学的・代数的構造を、特に6次球面やフラッグ多様体などの既知の例と関連して分析すること。
• 擬可積分性の一般性と限界を調査すること、特にそれが包合的でないこと、および第一チャーン類に依存すること。

提案手法

• 6次元におけるalmost complex 構造上の、Nijenhuisテンソルから得られる不変形式を用いて構成された2パラメータ族の内在的1次関数を導入する。
• 微分幾何的技法と構造群の表現論を用いて、これらの関数のEuler-Lagrange方程式を計算する。
• 接続の(1,1)曲率を用いて、擬正則バンドルを定義し、正則バンドルの概念をalmost complex設定に一般化する。
• 一般化されたヘルミート・ヤン・ミルズ接続の過剰決定系が局所的に適切に定義されるような、almost complex 6次元多様体のクラス—擬可積分的構造—を同定する。
• almost complex 構造の1-jet空間を分析し、擬可積分性条件が、全1-jet空間におけるcodimension 8の特異部分集合を定義することを示す。特異性は可積分構造に沿って集中する。
• almost complex 条件よりも柔軟なフレームワークを提供する、擬可積分的 U(3)-構造という関連概念を検討する。これは16個の1次方程式からなる滑らかな系で定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元における非可積分的 almost complex 構造に対して、意味のある正則バンドルの一般化を定義できるか？
• RQ2 非可積分的 almost complex 6次元多様体上に非自明な擬正則バンドルが存在するか？もしあるならば、どのような条件下で？
• RQ3 6次元におけるalmost complex 構造上に、ヘルミート・ヤン・ミルズ関数の一般化としての、具体的に1次関数が存在するか？
• RQ4 擬可積分性の条件は安定的または柔軟的か？可積分性および第一チャーン類との関係はいかなるものか？
• RQ5 擬可積分性が包合的でないことは定量的に測定可能か？これは、Gromov型手法の適用性にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 6次元におけるalmost complex 構造上の2パラメータ族の1次関数は、Nijenhuisテンソルから構成された不変形式から得られ、自然な変分的枠組みを提供する。
• 可積分的 almost complex 構造は、すべての関数の臨界点であるが、それとは別に、S⁶ 上の G₂-不変 almost complex 構造など、多くの非可積分的構造に対しても臨界点である。
• 擬可積分的 almost complex 構造のクラスは、非自明な擬正則バンドルを許容し、非可積分的状況における正則バンドル理論の一般化を実現する。
• 6次元多様体上のnearly Kähler 構造、特にS⁶上の標準的 almost complex 構造が、擬可積分的であることが示される。
• 擬可積分的 almost complex 構造の1-jet空間は、全1-jet空間におけるcodimension 8の特異部分集合であり、特異性は可積分構造に集中する。
• 擬可積分性は包合的ではなく、jet空間内で滑らかでない。しかし、関連する擬可積分的 U(3)-構造は、16個の1次方程式からなる滑らかな系で定義され、より取り扱いやすい代替枠組みを提供する。