[論文レビュー] Remarks on the monotonicity of default probabilities

Dirk Tasche|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2002

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、信用格付けシステムにおける単調性の意思決定理論的基礎を確立し、条件付きデフォルト確率の単調性が、最も powerful な検定の意味でスコアに基づく検定の最適性と同値であることを証明する。主な結果は、このような単調性が、スコア関数の順序的優位性グラフ（ROC曲線）が凹であることに同値であることを示しており、統計的最適性とROC曲線の幾何的性質を結びつける。

ABSTRACT

The consultative papers for the Basel II Accord require rating systems to provide a ranking of obligors in the sense that the rating categories indicate the creditworthiness in terms of default probabilities. As a consequence, the default probabilities ought to present a monotonous function of the ordered rating categories. This requirement appears quite intuitive. In this paper, however, we show that the intuition can be founded on mathematical facts. We prove that, in the closely related context of a continuous score function, monotonicity of the conditional default probabilities is equivalent to optimality of the corresponding decision rules in the test-theoretic sense. As a consequence, the optimality can be checked by inspection of the ordinal dominance graph (also called Receiver Operating Characteristic curve) of the score function: it obtains if and only if the curve is concave. We conclude the paper by exploring the connection between the area under the ordinal dominance graph and the so-called Information Value which is used by some vendors of scoring systems. Keywords: Conditional default probability, score function, most powerful test, Information Value, Accuracy Ratio.

研究の動機と目的

• 信用格付けシステムにおけるデフォルト確率が、格付けカテゴリに対して単調に減少するという要件に理論的根拠を与えること。
• 条件付きデフォルト確率の単調性と、最も powerful な検定という統計的概念との間の明示的関係を確立すること。
• 単調性条件が、スコア関数の順序的優位性グラフ（ROC曲線）の凹性と同値であることを示すこと。
• 信用スコアリングで広く用いられる2つの性能指標、Accuracy Ratio（AR）とInformation Value（IV）の関係を明確にすること。

提案手法

• 連続的なスコア関数 S と二値デフォルトインジケータ T ∈ {D, N} を用いて、信用スコアリング問題を形式化し、滑らかな条件付き密度関数 f_D(s) と f_N(s) を仮定する。
• 尤度比 L(s) = f_D(s)/f_N(s) を定義し、ベイズの定理を用いて条件付きデフォルト確率 P(D|S=s) を導出する。
• u = P(S ≤ s | N) を用いて、S のデフォルトおよび非デフォルト下での累積分布関数をマッピングする順序的優位性グラフ δ_S(u) = P(S ≤ s | D) / P(S ≤ s | N) を導入する。
• ネイマン＝ピアソンの補題を用いて、P(D|S=s) の単調性がROC曲線 δ_S(u) の凹性と同値であることを証明する。
• 情報価値（IV_S）を、デフォルトおよび非デフォルト下での対数尤度比の期待差として定義し、識別力のグローバルな指標として分析する。
• IV_S と Accuracy Ratio（AR_S）を比較し、AR_S がROC曲線と対角線の間の面積の2倍に等しく、すべての有意水準におけるカットオフ検定の平均パワーを測定することを示す。一方、IV_S は、変換されたスコアの密度の逆数で重み付けされたこの面積を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デフォルト確率の単調性要件は、数学的に正当化可能であるのか、あるいは単なる直感的仮定にとどまるのか？
• RQ2 どのような条件下で、スコア関数に伴う検定手順が、最も powerful な検定として統計的に最適となるのか？
• RQ3 順序的優位性グラフ（ROC曲線）の凹性は、条件付きデフォルト確率の単調性とどのように関係しているのか？
• RQ4 信用スコアリングシステムにおいて、Information Value（IV）とAccuracy Ratio（AR）の関係は何か？
• RQ5 ROC曲線の幾何的性質を用いて、スコア関数の性能を評価できるか？

主な発見

• 条件付きデフォルト確率 P(D|S=s) の単調性は、スコア関数 S の順序的優位性グラフ（ROC曲線）の凹性と数学的に同値である。
• 単調性の条件により、ネイマン＝ピアソンの補題に従い、任意の第一種の誤り率レベルにおいて、対応するスコアベースの検定が最も powerful であることが保証される。
• Accuracy Ratio（AR_S）は、ROC曲線と対角線の間の面積の2倍に等しく、すべての有意水準におけるカットオフ検定の平均パワーを測定する。
• Information Value（IV_S）は、デフォルトおよび非デフォルト下での対数尤度比の期待差として定義され、常に非負であり、f_D と f_N に対して対称的である。
• AR_S は 0 から 1 の間で有界である一方、IV_S は有界でない。AR_S は、対数尤度比をスコアの累積分布関数に置き換えた場合の IV_S の特別なケースと見なせる。
• S* = log L(S) の変換により、ROC曲線の凹性が P(D|S=s) の単調性と同値であるスコア関数が得られ、AR_S はこの変換されたスコアから導出される。