[論文レビュー] Remarks on the nonvanishing of cohomology groups for perverse sheaves on abelian varieties

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体上の非可約な perverse sheaf のコホモロジー群の次元に対して鋭い下界を確立し、特に上位コホモロジーが非自明な場合、次数 $d-1$ のコホモロジーの次元が次数 $d$ のものより大きな倍数であることを証明する。この境界は、sheaf の補題次元とアーベル多様体の次元に依存する。結果はハード・リーマンの定理を拡張し、コホモロジーがゼロのまわりで対称的な区間に支持されることを示唆する。

ABSTRACT

It is shown that for a perverse sheaf $K$ on an abelian variety $X$ the integers $i$ for which the cohomology $H^i(X,K)$ does not vanish define an interval in the number line (under certain conditions on the field of definition of $K$)

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の非可約 perverse sheaf のコホモロジー群の次元に対する定量的下界を確立すること。
• 非自明なコホモロジーがゼロのまわりで対称的に分布することを示すことにより、ハード・リーマンの定理を拡張すること。
• 滑らかで射影的な多様体のアーベル写像に関する perverse sheaf のコホモロジーを分析すること、特に像がアーベル多様体である場合に注目すること。
• コホモロジーを非可約表現に分解することにより、複素多様体のガロア被覆のコホモロジー推定値を導出すること。
• 既知の Chevalley-Weil 型推定値を改善する、ガロア被覆のコホモロジーにおける非可約表現の重複度に対する新しい評価を提供すること。

提案手法

• アーベル多様体 $X$ 上の perverse sheaf $K$ の畳み込みのべきを用い、それを perverse sheaf $K_r$ と無視できる項 $L_ u[n_ u]$ の和に分解する。
• Künneth 公式と Laurent 多項式 $h_t(X,K)$ 内の係数比較を用い、次数 $rd$ と $rd-1$ のコホモロジー次元を関連付ける。
• 相対的ハード・リーマン定理と [BBD] からのコホモロジー的境界を用い、コホモロジー群のサポートと次数を制約する。
• アーベル部分多様体 $A$ に対する商写像 $\pi: X \to X/A$ の構造を用い、無視できる sheaf が畳み込みに与える寄与を分析する。
• perverse 解析的延長と双対性を用い、直接像の非可約成分がアーベル写像のもとで非可約のままであることを保証する。
• トレース公式と表現論を用い、コホモロジーの重複度を特徴関数とオイラー特性に従って表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な perverse sheaf $K$ がアーベル多様体 $X$ 上にあり、$d = d(K) > 0$ のとき、コホモロジー群 $H^{d-1}(X,K)$ と $H^d(X,K)$ の次元の最小比は何か？
• RQ2 滑らかで射影的な多様体 $Y$ の perverse sheaf のコホモロジーが、アーベル写像が非自明なとき、次数 $[-d,d]$ に支持されるのはどのような条件下か？
• RQ3 ガロア被覆 $\tilde{Y} \to Y$ のコホモロジーにおける非可約表現の重複度は、多様体 $Y$ 及びそのアーベル多様体の幾何にどのように関係するか？
• RQ4 アーベル多様体の次元と sheaf の補題次元を用いた定量的境界によって、ハード・リーマン定理におけるコホモロジーの対称的サポートを強化できるか？
• RQ5 畳み込みにおける無視できる項のコホモロジーへの正確な寄与は何か？

主な発見

• 任意のアーベル多様体 $X$（次元 $g$）上の非可約な perverse sheaf $K$ で $d = d(K) > 0$ であるものに対して、不等式 $\dim H^{d-1}(X,K) > \frac{2d}{d+g} \cdot \dim H^d(X,K)$ が成り立つ。
• もし $X$ が単純であれば、$\dim H^{d-1}(X,K) > d \cdot \dim H^d(X,K)$ が成り立ち、一般の場合よりも強い境界が得られる。
• sheaf $K$ のコホモロジーは、正確に次数 $\nu \in [-d(K), d(K)]$ で非自明であり、これはハード・リーマン定理と主な不等式の結果である。
• 非自明なアーベル写像 $f: Y \to X$ を持つ滑らかで射影的な多様体 $Y$ に対して、$H^d(Y,L) \neq H^0(X, {}^pH^d(Rf_*L))$ ならば、$H^\nu(Y,L) \neq 0$ となるのは $\nu \in [-d,d]$ のときに限る。
• ガロア被覆 $\pi: \tilde{Y} \to Y$ で群 $\Gamma$ を持つ場合、非可約表現 $\phi$ が $H^{d+n}(\tilde{Y}, \mathbb{C})$ に現れる重複度 $m_{d-1}(\phi)$ は、$m_{d-1}(\phi) > \frac{2d}{d+g} m_d(\phi)$ を満たす。
• 多様体 $Y$ が曲面で非自明な非可約表現 $\phi$ の場合、Chevalley-Weil トレース公式により $m_0(\phi) - 2m_1(\phi) \geq 0$ が得られ、以前の評価を改善する。