[論文レビュー] Remarks on the rigidity of CR-manifolds

Sung‐Yeon Kim, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|Jan 23, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジェット空間における摂動技術と群不変構成を用いて、任意の可算で稠密な $ S^1 $ の部分群（例えば $ \{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\} $）を局所CR自己同型群として持つように、滑らかなCR多様体を構成する。この多様体は強擬凸の場合でも存在可能であり、実解析的CR多様体とはCR同値でない。

ABSTRACT

A method is proposed to obtain examples of smooth CR-manifolds whose local stability group is neither a Lie group nor infinite-dimensional.

研究の動機と目的

• 滑らかなCR多様体の局所安定性群が、強擬凸である場合ですらLie群でないことがあることを示すこと。
• 局所CR安定性群が $ S^1 $ の可算で稠密な部分群（例えば $ \{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\} $）に同型となるような滑らかな一般型部分多様体を構成すること。
• 有限型および有限非退化性を満たしても、そのような多様体が任意の実解析的CR多様体とはCR同値でないことを示すこと。
• 群不変摂動を用いた一般的手法を提供し、局所CR自己同型群を所望の形に制御できる滑らかなCR多様体を構成すること。

提案手法

• 与えられた滑らかな一般型部分多様体 $ M $ を、有限型の点 $ p $ においてジェット空間における帰納的構成により摂動する。
• 近傍 $ V_k $、集合 $ X_k $、摂動された多様体 $ M_k $ の列を定義し、$ M_k $ が特定の軌道閉包を避けるとともに、無限次の接性を保つようにする。
• 群 $ G $ の有限部分群 $ G_k $ に対し、各 $ g \in G_k $ に対して $ g(M \cap V_k) $ を $ g(M_k \cap V_k) $ に置き換えることで、新たな部分多様体 $ \widetilde{M} $ を構成する。
• 摂動量が $ \varepsilon_k $, $ \delta_k $, $ \eta_k $ によって十分に小さくなるように保証し、$ \widetilde{M} $ が $ p $ において $ M $ と無限次の接性を持つようにする。これにより、有限型が保たれる。
• 微分の推定と単射半径の評価を用いて、$ \widetilde{M} $ の任意のCR自己同型は摂動構造を保存しなければならず、結果として $ G $ に属することを示す。
• 摂動された集合 $ N_k $ の剛性および軌道閉包の回避を活用し、$ \widetilde{M} $ を保存できるのは $ G $ の元に限ることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強擬凸といった強い幾何的条件のもとでも、滑らかなCR多様体の局所安定性群がLie群でないことがあるか？
• RQ2 局所CR自己同型群が $ S^1 $ の可算で稠密な部分群に同型となるような滑らかな一般型部分多様体を構成することは可能か？
• RQ3 有限型および有限非退化性を満たしても、そのような多様体が任意の実解析的CR多様体とはCR同値でないことはあり得るか？
• RQ4 所望の非Lie局所自己同型群を有する滑らかなCR多様体の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 ジェット空間における群不変摂動を用いて、このような多様体を体系的に構成する方法は何か？

主な発見

• 任意の $ n \geq 2 $ に対して、$ \mathbb{C}^n $ 内に、局所安定性群が $ S^1 $ の可算で稠密な部分群 $ \{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\} \subset S^1 $ に同型である滑らかな強擬凸超曲面が存在する。この群はLie群ではない。
• 構成された多様体 $ \widetilde{M} $ の局所CR安定性群 $ \mathrm{Aut}_{\rm CR}(\widetilde{M},p) $ は、$ S^1 $ の可算で稠密な部分群 $ G $ に同型であり、したがってLie群ではない。
• 構成された多様体 $ \widetilde{M} $ は、点 $ p $ において元の $ M $ と無限次の接性を持つ。有限型および一般型の性質が保たれる。
• 局所CR自己同型群は $ G $ にちょうど一致し、それより大きくはならない。これは摂動された集合の剛性および軌道閉包の回避による。
• この構成法により、任意の実解析的CR多様体とはCR同値でない多様体が得られる。元の $ M $ が実解析的かつ $ G $-不変であっても同様である。
• 本手法は、任意の有限型・有限非退化性・$ G $-不変な局所的芽に対して適用可能であり、ここで $ G $ は $ \mathrm{Aut}(\mathbb{C}^n,p) $ の有限部分群の増大列の可算和である。