[論文レビュー] Remarks on variational problems for Fefferman's measure

David E. Barrett, Christopher Hammond|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℂ²における強擬凸超曲面に沿ったフェッファーマン測度に関連する変分問題——特にプレートー問題と等周問題——を調査する。等周商は、ユークリッド幾何とブラシュケの等長幾何の両方の特徴を併せ持つことが示され、正則同型写像に関して不変な新たな等周量𝒬*が導入される。𝒬*は正であり、球面で極値をとるため、CR幾何における精密な不変量を提供する。

ABSTRACT

We investigate the Plateau and isoperimetric problems associated to Fefferman's measure for strongly pseudoconvex real hypersurfaces in $\mathbb C^n$ (focusing on the case $n=2$), showing in particular that the isoperimetric problem shares features of both the euclidean isoperimetric problem and the corresponding problem in Blaschke's equiaffine geometry in which the key inequalities are reversed. The problems are invariant under constant-Jacobian biholomorphism, but we also introduce a non-trivial modified isoperimetric quantity invariant under general biholomorphism.

研究の動機と目的

• 強擬凸超曲面におけるフェッファーマン測度のプレートー問題を分析すること、特に n=2 に焦点を当てる。
• フェッファーマン測度に関連する等周問題を調査し、特に等周商𝒬(Z) の性質を検討すること。
• 一般の正則同型写像（定ヤコビアンに限らない）に関して不変な、新たな正則同型写像不変等周量𝒬*(Z) を構成すること。
• 𝒬*(Z) の正値性および極値性を確立すること、特に単位球面との関係において。
• フェッファーマン測度および関連する幾何的不変量における正規化および曲率の問題を解消すること。

提案手法

• ヤコビアンが定数である正則同型写像に関して不変であるように設計された、Monge-Ampère型行列式と超曲面上の体積形式を用いたフェッファーマン測度を用いる。
• 一次変分公式を適用して、フェッファーマン測度を最小化する超曲面の臨界条件を導出し、レヴィ形式と平均曲率を含む偏微分方程式を得る。
• 一般の正則同型写像に関して不変であるように、領域のすべての正則同型像における下界としての修正等周商𝒬*(Z) を導入する。
• Sobolev埋め込み推定とJerison-Lee不等式を用いて、𝒬*(Z) の正値性を証明し、境界上のL²およびL⁴/³ノルムに依存する。
• Webster や Li-Luk が提唱する正規化技術および曲率表記を用いて、文献における接触形式および曲率の定義の相違を統合する。
• CR幾何およびKohnラプラシアンの理論を含む複素幾何的解析を用いて、鋭い不等式および極値条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等周商𝒬(Z) は、ユークリッド幾何とブラシュケの等長幾何の中間的性質を示すか？
• RQ2 一般の正則同型写像（体積保存に限らない）に関して有限かつ正である正則同型写像不変等周量を構成可能か？
• RQ3 単位球面は、ℂ²におけるすべてのコンパクトな強擬凸境界の中で、新たな不変量𝒬*(Z) を最大化するか？
• RQ4 𝒬*(Z) の定義における極値超曲面は保証されるか、すなわち下界が最小値に達するか？
• RQ5 フェッファーマン測度およびWebster曲率における異なる正規化選択が、得られる幾何的不等式にどのように影響するか？

主な発見

• 等周商𝒬(Z) は定ヤコビアン正則同型写像に関して不変であり、ℂ²における単位球面では𝒬(S⁵) = 8π が成り立つ。
• 修正された等周量𝒬*(Z) は正であり、すべての正則同型写像に関して不変であり、真の幾何的不変量を提供する。
• 単位球面は、ℂ²におけるすべてのコンパクトな強擬凸境界の中で𝒬*(Z) を最大化する（質問26の予想が成り立つものと仮定して）。
• 領域Ω（境界がZ）における正則関数hについて、不等式‖h‖_{L²(Ω)} ≤ C_Ω ‖h‖_{L⁴/³(Z)} が成り立つ。これは𝒬*(Z) の正値性を示唆する。
• 複素幾何的アプローチにより、Jerison-LeeのSobolev不等式が回復され、さらに精錬され、関数が定数のときに等号が成立する。
• 本稿は、フェッファーマン測度における正規化のあいまいさを解消し、曲率表記を既知のCR幾何の結果（特にLiおよびLukの結果）と関連づけた。