[論文レビュー] Remarks on weak amenability of hypergroups

Mahmood Alaghmandan|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ジャコビ超群を含むすべての可換 Pλ-ハイパーグループが、Cowling-Haagerup定数 1 を持つ弱アーベル的であることを確立し、Eymard の未解決問題を解決した。さらに、基礎群のアーベル性を用いて、超球超群における有界近似恒等元の特徴づけを行い、群 G のアーベル性と A(H) におけるこのような恒等元の存在が同値であることを証明した。

ABSTRACT

We study the existence of multiplier (completely) bounded approximate identities for the Fourier algebras of some classes of hypergroups. In particular we show that, a large class of commutative hypergroups are weakly amenable with the Cowling-Haagerup constant 1. As a corollary, we answer an open question of Eymard on Jacobi hypergroups. We also characterize the existence of bounded approximate identities for the hypergroup Fourier algebras of ultraspherical hypergroups.

研究の動機と目的

• ジャコビ超群の Cowling-Haagerup 定数に関する Eymard の未解決問題を解決すること。
• Pλ-ハイパーグループを含む広範な可換ハイパーグループのクラスに対して、定数 1 を持つ弱アーベル的性質を確立すること。
• 超球超群のフォーリエ代数 A(H) における有界近似恒等元の存在を特徴づけること。
• 基礎群 G のアーベル性と A(H) における有界近似恒等元の存在を結びつけることで、ハイパーグループ設定への Leptin 型定理の拡張を行うこと。

提案手法

• Pλ-ハイパーグループ上の正定値関数の乗法的性質を用いて弱アーベル的性質を分析する。
• Voit の可換ハイパーグループに関する結果を適用し、すべての可換 Pλ-ハイパーグループが定数 1 を持つ弱アーベル的であることを示す。
• 超球超群 H のフォーリエ代数 A(H) を基礎群 G 上の π-径向関数の空間と同一視する。
• C₀(G) から C₀(G) への正規平均写像 π を用いて、G から H への近似恒等元の持ち上げを行う。
• [17, Lemma 4.4] を適用し、群のアーベル性の下で超球超群における条件 (P₂) を検証する。
• 双対性および作用素空間技法を用いて、G がアーベル的であるとき MA(H) = M_{cb}A(H) を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ超群 H_{α,β} の Cowling-Haagerup 定数は、すべての α ≥ β ≥ -1/2 に対して 1 のままであろうか？
• RQ2 離散的でない可換ハイパーグループの広いクラスに対し、定数 1 を持つ弱アーベル的性質を確立できるか？
• RQ3 基礎群 G にどのような条件を課すと、超球超群 H における A(H) の有界近似恒等元の存在が保証されるか？
• RQ4 超球超群に対して、G のアーベル性と A(H) における有界近似恒等元の存在を結びつける完全な Leptin 型定理が存在するか？

主な発見

• すべての可換 Pλ-ハイパーグループは、Cowling-Haagerup 定数 1 を持つ弱アーベル的であり、これにはすべてのジャコビ超群 H_{α,β} が含まれる。
• Eymard が提起したジャコビ超群の Cowling-Haagerup 定数に関する未解決問題は解決された：すべての α ≥ β ≥ -1/2 に対して 1 である。
• Gelfand 対 (G,K) から生じる超球超群 H は、定数 1 を持つ弱アーベル的である。
• 超球超群 H における A(H) の有界近似恒等元の存在は、基礎群 G のアーベル性と同値である。
• G がアーベル的であるとき、MA(H) = M_{cb}A(H) = B_λ(H) が成り立ち、作用素空間設定において完全な双対性が確立される。
• 定理 4.4 の特徴づけにより、超球超群に対して完全な Leptin 型定理が確立される：(i) から (iv) が同値であり、(iv) は G のアーベル性を表す。