[論文レビュー] Remarks on zeta functions and K-theory over F1

Anton Deitmar|ArXiv.org|May 16, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、1つの元からなる仮想の体（$\mathbb{F}_1$）上のSouléのゼータ関数の定義を、すべての$\mathbb{F}_1$-スキームへと拡張する。そのために、固定された整数$e$に対して$q-1$と互いに素である有限体$\mathbb{F}_q$上の点数を捉えるゼータ多項式を導入する。さらに、$\mathbb{F}_1$-環のK理論の2つの構成、Quillenの$Q$-構成と$+$-構成を比較し、単項群である場合には両者が一致するが、一般には一致せず、$+$-構成は単位群にのみ依存するのに対し、$Q$-構成はモノイド構造のより多くの情報を保持する。

ABSTRACT

We show that the notion of zeta functions over F1, as given in special cases by Soule', extends naturally to all F1-schemes as defined earlier by the author. We further give two constructions of K-theory for affine schemes or F1-rings, we show that these coincide in the group case, but not in general.

研究の動機と目的

• Souléの$\mathbb{F}_1$上のゼータ関数定義を、強多項式的点数条件を満たさない$\mathbb{F}_1$-スキームを含むすべての$\mathbb{F}_1$-スキームへ一般化すること。
• 固定された整数$e$に対して$q-1$と互いに素なとき、$\mathbb{F}_q$-点の数を捉えるゼータ多項式$N(x)$を定義すること。
• Quillenの$Q$-構成と$+$-構成の2つのK理論構成を、$\mathbb{F}_1$-環について比較すること。
• $Q$-構成と$+$-構成が一致する条件を特定すること。
• $\mathbb{F}_1$-K理論における単位群とモノイド構造の役割を明確にすること。

提案手法

• 固定された$e$に対して、$\gcd(q-1, e) = 1$を満たす任意の$q$について$\#X(\mathbb{F}_q) = N(q)$を満たすような$\mathbb{F}_1$-スキーム$X$に対してゼータ多項式$N(x)$を定義し、$N(x)$が一意に定まることを示す。
• $N(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$であるとき、$\mathbb{F}_1$-ゼータ関数を$\zeta_{X|\mathbb{F}_1}(s) = s^{a_0}(s-1)^{a_1}\cdots(s-n)^{a_n}$として定義する。
• $\mathrm{GL}_n(A) = A^n \rtimes \mathrm{Per}(n)$であるモノイド$A$に対して、$\mathrm{GL}(A)^+$におけるQuillenの$+$-構成を用いて$K_i^+(A)$を定義する。一方、$K_i^Q(A)$は、有限生成射影$A$-加群のなす圏におけるQuillenの$Q$-構成を用いて定義する。
• $A$が群であるとき、$+$-構成と$Q$-構成は同型なK理論群を与えることを証明し、$i=0$では$\mathbb{Z} \times A$、$i>0$では$\pi_i^s$（$i$番目の球面の安定ホモトピー群）として$K_i(A)$を明示的に計算する。
• $A$が一般のモノイドであるとき、$K_i^+(A) = K_i^+(A^\times)$であることが示され、したがって単位群にのみ依存する。一方、$K_i^Q(A)$はモノイド構造全体に依存する。
• $K_i^+(A) \to K_i^Q(A)$の自然な準同型を確立し、$A$が群でない場合、例えば$a^2 = a$を満たす$A = \{1,a\}$に対して$K_0^+(A) = \mathbb{Z}$だが$K_0^Q(A) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$であるため、2つの構成は一般には一致しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Souléの$\mathbb{F}_1$上のゼータ関数構成を、強多項式的点数条件を満たさない$\mathbb{F}_1$-スキームを含むすべての$\mathbb{F}_1$-スキームへ拡張可能か？
• RQ2 自然な点数性を満たす$\mathbb{F}_1$-スキームのゼータ関数の正しい一般化は何か？
• RQ3 Quillenの$Q$-構成と$+$-構成は$\mathbb{F}_1$-環のK理論で同値となるか？もしそうでなければ、その違いの原因は何か？
• RQ4 $\mathbb{F}_1$-K理論におけるモノイドの単位群と完全な乗法的構造の関係は何か？
• RQ5 $\mathbb{F}_1$-環の文脈において、$+$-構成と$Q$-構成のK理論の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の$\mathbb{F}_1$-スキーム$X$に対して、自然数$e$と一意な整数係数多項式$N(x)$が存在し、$\gcd(q-1, e) = 1$を満たす任意の$q$について$\#X(\mathbb{F}_q) = N(q)$が成り立つ。この$N(x)$を$X$のゼータ多項式と呼ぶ。
• $N(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$であるとき、$\mathbb{F}_1$-ゼータ関数は$\zeta_{X|\mathbb{F}_1}(s) = s^{a_0}(s-1)^{a_1}\cdots(s-n)^{a_n}$として定義され、Souléの構成を一般化する。
• $\mathbb{F}_1$-環$A$の$+$-構成によるK理論は単位群$A^\times$にのみ依存するため、$K_i^+(A) = K_i^+(A^\times)$である。一方、$Q$-構成によるK理論はモノイド構造全体に依存する。
• $A$が群であるとき、$+$-構成と$Q$-構成は一致する：$K_i^+(A) = K_i^Q(A)$であり、$K_0(A) = \mathbb{Z} \times A$、$i > 0$では$K_i(A) = \pi_i^s$（$i$番目の球面の安定ホモトピー群）となる。
• $a^2 = a$を満たす非群モノイド$A = \{1,a\}$に対して、$K_0^+(A) = \mathbb{Z}$であるが$K_0^Q(A) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$であるため、2つの構成は一般には一致しない。
• $K_i^+(A) \to K_i^Q(A)$の自然な準同型が存在するが、すべての射影的$A$-加群が自由加群の直和成分であるとは限らないため、一般には同型ではない。