[論文レビュー] Removable singularities for analytic varieties in strongly pseudoconvex domains

Giuseppe Della Sala, Alberto Saracco|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、強い擬凸領域の幾何構造に依拠し、孤立特異点を持つ複素多様体が存在することを確立している。その多様体は、領域 Ã ⊂ Ω 内に存在し、境界が与えられた閉じた最大複素部分多様体 M ⊂ ∂Ω ∩ A にちょうど一致する。この構成は、特異点の除去可能性に関する結果を提供する。

ABSTRACT

Abstract. Let M be a closed maximally complex submanifold of some relatively compact open subset A of the boundary of a strictly pseudoconvex domain Ω of Cn. We find an open domain à of Ω, depending only on Ω and A, and a complex variety with isolated singularities W ⊂ à such that bW ∩ A = M. 1.

研究の動機と目的

• 強い擬凸領域の境界を越えて特異点を伴う解析的多様体を拡張する問題に取り組む。
• 厳密擬凸領域 Ω の境界に含まれる閉じた最大複素部分多様体 M が、孤立特異点を持つ複素多様体の境界であるための条件を特定する。
• Ω と A にのみ依存する開領域 Ã ⊂ Ω を構成し、その中で bW ∩ A = M を満たす複素多様体 W ⊂ Ã が存在することを示す。
• 強い擬凸幾何における解析的多様体の特異点の除去の幾何的実現を提供する。

提案手法

• Ω の厳密擬凸幾何を用いて、Ω と部分多様体 A にのみ依存する領域 Ã ⊂ Ω を定義する。
• 複素解析およびCR幾何の技法を適用し、多様体 W の境界が A とちょうど M で交わることを保証する。
• 多様体 W が孤立特異点を持つことが示され、構成が適切に定義されており非退化していることが保証される。
• この方法は、相対境界 A ⊂ ∂Ω 内で M が複素部分多様体として最大であることに基づく。
• ∂Ω のリーヴィ幾何と M の最大性の相互作用から、W の存在が導かれる。
• 局所座標に依存せず、Ω と A の内在的幾何的性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密擬凸領域 Ω の境界に含まれる閉じた最大複素部分多様体 M は、孤立特異点を持つ複素多様体の境界として実現可能か？
• RQ2 このような多様体が領域 Ã ⊂ Ω 内に存在するための条件は何か？
• RQ3 領域 Ã は Ω と A から明示的にどのように構成できるか？
• RQ4 多様体 W は Ω と A の幾何から一意に決定されるか？
• RQ5 Ω の強い擬凸性は、特異点の除去構成を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 孤立特異点を持つ複素多様体 W が開領域 Ã ⊂ Ω 内に存在し、bW ∩ A = M を満たす。
• 領域 Ã は Ω と A にのみ依存し、追加の幾何的データには依存しない。
• 多様体 W は境界が与えられた部分多様体 M とちょうど一致するように構成される。
• この結果は、強い擬凸領域における解析的多様体の特異点の除去現象を確立する。
• 構成は内在的であり、M の最大性と Ω の厳密擬凸性に依存する。
• この方法は、特異点を制御された特異点を持つより大きな解析的多様体に埋め込むことで、特異点の除去を幾何的に実現する。