[論文レビュー] Removable singularities for degenerate elliptic Pucci operators

Giulio Galise, Antonio Vitolo|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、$p$ 階の退化楕円型 Pucci 方程式の粘性解に対して、拡張された最大原理と除去可能性に関する結果を確立する。著者らは、古典的 Pucci 演算子を一般化する新しいクラスの完全非線形作用素を導入し、特異集合が零容量である場合に、その上を越えて部分解が連続的に拡張可能であり、特に勾配項を含む極めて退化した場合でも最大原理が保たれることを示す。

ABSTRACT

In this paper we introduce some fully nonlinear second order operators defined as weighted partial sums of the eigenvalues of the Hessian matrix, arising in geometrical contexts, with the aim to extend maximum principles and removable singularities results to cases of highly degenerate ellipticity.nn

研究の動機と目的

• 高次元で極めて退化した楕円型 Pucci 方程式への最大原理および除去可能性に関する結果の拡張。
• 古典的 Pucci 演算子を一般化し、切断ラプラシアンを含む $p$ 階の Pucci 型作用素の新しいクラスの導入。
• 有界部分解の符号が、零容量の特異集合 $E$ を超えて伝播する条件の確立。
• 勾配項 $b|Du|$ が $b$ が大きい場合に最大原理を破壊するメカニズムの分析、特に $p < n$ の退化ケースにおいて。
• 零容量の閉集合 $E$ の外部で定義された部分解が、$E$ を越えて粘性解として一意に拡張可能であることを証明。

提案手法

• ヘッセ行列 $X$ の $p$ 個の最大または最小固有値の重み付き和として、退化 Pucci 作用素 $\mathcal{P}^{\pm}_{\lambda,\Lambda|p}(X)$ を定義する。
• 非線形性 $F$ に作用素、勾配項 $b|Du|$、零次項 $-cu$ を含む構造条件 (6) を導入する。
• 原点で発散する基本解 $\Phi_{\alpha^*}(x)$ を用い、$\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2\Phi) = 0$ を $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ で満たすものとして、バリア関数を構成する。
• $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$ により定義される $\alpha^*$-容量を用いた容量論を適用し、$\alpha \in [0, \alpha^*]$ に対して $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ を要求する。
• 特異集合 $E$ を超えて部分解 $u(x)$ の上および下の半連続化 $U(x)$ と $V(x)$ を定義し、安定性および比較原理を用いて $E$ 上で $U = V$ を示す。
• 拡張された比較原理（補題 5.2）を用いて、$U$ と $V$ が全領域 $\Omega$ で粘性解であることを結論づけ、除去可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異集合 $E$ に対してどのような条件下で、$p$ 階の退化楕円型 Pucci 方程式に最大原理を拡張できるか。
• RQ2 勾配項 $b|Du|$ が $p < n$ の退化ケースにおいて最大原理の有効性に与える影響は何か。
• RQ3 零 $\alpha^*$-容量の閉集合 $E$ の外部で定義された粘性部分解は、$E$ を越えて全粘性解に一意に拡張可能か。
• RQ4 基本解 $\Phi_{\alpha^*}$ がバリアの構成および除去可能性の証明において果たす役割は何か。
• RQ5 容量条件 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$（$\alpha \in [0, \alpha^*]$）は、退化 Pucci 方程式における特異集合の除去可能性とどのように関係するか。

主な発見

• 有界部分解 $u$ に対して、$\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$（$\alpha \in [0, \alpha^*]$）かつ $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$ を満たす場合、$\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2u) + b|Du| - cu \geq f(x)$ における拡張された最大原理が成立する。
• $c = 0$ の場合、$b\delta < \lambda p$（$\delta$ は $\Omega$ を含む球の半径）を満たすと、勾配項が支配的にならず最大原理が成立する。
• $c > 0$ の場合、すべての $b \geq 0$ に対して最大原理が成立し、推定における定数 $C$ は $c$ に依存する。
• $0 \leq \alpha < \alpha^*$ に対しては、$\sup_{\Omega}u \leq \limsup_{y \to E'} u(y) + C\|f^-–\|_{\infty}$ が成り立ち、$\alpha = \alpha^*$ においては $b = 0$ の場合も成立する。
• 除去可能性結果（定理 1.2）が確立された：$u$ が $\Omega \setminus E$ で有界上位の粘性部分解であり、$\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$（$\alpha \in [0, \alpha^*]$）を満たすならば、$u$ は一意に $\Omega$ 全体で粘性解に拡張可能である。
• 証明は、$E$ を超えて $u$ の上および下の半連続化 $U$ と $V$ を構成し、比較原理により $U = V$ を示し、$U$ が $\Omega$ 全体で粘性解であることを結論づける。