[論文レビュー] Removal of Quantifiers by Elimination of Boundary Points

Eugene Goldberg, Panagiotis Manolios|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界点を除去するための解釈節と依存性列 (D-sequents) を用いた、ブールCNF論理式における新しい量子化除去手法を提案する。この手法は、すべての除去可能な境界点が除去された時点で終了することで、合成的かつスケーラブルなQEPソルバを実現し、節の爆発を顕著に低減し、モデルチェックイングベンチマークにおいて従来手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We consider the problem of elimination of existential quantifiers from a Boolean CNF formula. Our approach is based on the following observation. One can get rid of dependency on a set of variables of a quantified CNF formula F by adding resolvent clauses of F eliminating boundary points. This approach is similar to the method of quantifier elimination described in [9]. The difference of the method described in the present paper is twofold: {\bullet} branching is performed only on quantified variables, {\bullet} an explicit search for boundary points is performed by calls to a SAT-solver Although we published the paper [9] before this one, chrono- logically the method of the present report was developed first. Preliminary presentations of this method were made in [10], [11]. We postponed a publication of this method due to preparation of a patent application [8].

研究の動機と目的

• 満たされる割り当てを列挙するか、過剰な解釈節を生成するという従来のQEPソルバの非効率性と非合成的性質を是正すること。
• 公式サイズの指数的増大を避けるとともに正しさを保証する量子化除去の終了条件を設計すること。
• 除去可能な境界点を特定することで、冗長な変数を除去することにより、合成的QEPソルバを可能にすること。
• D-sequentsを用いて、部分論理式全体にわたって変数の冗長性を記録・伝搬する形式的メカニズムを導入すること。
• ハードウェアおよびソフトウェア検証タスク、特にモデルチェックイングにおいて、スケーラビリティと性能を向上させること。

提案手法

• CNF論理式 F(X,Y) における X′-境界点を特定する。ここで、完全な割り当てが F を偽にし、かつ偽にされたすべての節が X′ に属する変数を含む。このとき、X′ の部分集合に対して最小性が保証される。
• 変数 X 内の変数を反転させても F の満たされる割り当てが得られない場合、境界点は除去可能である。このような点は、X′ に属する変数を含まない解釈節を追加することで除去される。
• アルゴリズムは、量化変数 X のみに分岐し、境界点を明示的に探索するためにSATソルバを用いる。
• 変数 X′′ が割り当て q を適用した後、F において冗長であることを記録するため、(F, X′, q) → X′′ の形式のD-sequentsを維持・導出する。
• 除去可能な X′-境界点が残らなくなった時点でアルゴリズムは終了し、最終的な論理式 F*(Y) は X に属する変数を含むすべての節を削除することで得られる。
• D-sequentフレームワークにより、部分空間に境界点が存在しなくなった場合に、部分論理式を独立して処理することが可能になり、合成的推論が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 満たされる割り当ての列挙による指数的増大を避けつつ正しさを保証するQEPの終了条件を設計できるか？
• RQ2 境界点の概念を単一変数から任意の部分集合 X′ ⊆ X に一般化できるか、これにより合成的推論が可能になるか？
• RQ3 依存性列 (D-sequents) を用いて、量子化除去における変数の冗長性を形式的に記録・伝搬できるか？
• RQ4 境界点の除去とD-sequentsを用いたQEPソルバは、実用的な検証タスクにおいて、従来手法を上回るスケーラビリティと性能を達成できるか？
• RQ5 本手法は、BDDベースや解釈ベースのソルバと比較して、合成的動作をどの程度維持または向上させるか？

主な発見

• 提案されたDDSアルゴリズムは、HWMCC’10スイートにおいて、前方モデルチェックイングではDPとEnumSAよりも多くのベンチマークを解き、後方モデルチェックイングでは著しく多くを処理した。
• DDS_impl は後方モデルチェックイングで758のベンチマークを処理し、EnumSA や DP を上回ったが、最も複雑なインスタンスを処理するため、1ベンチマークあたりの所要時間が長かった。
• 本手法は合成的である。境界点が存在しない部分空間では、部分論理式を独立して処理できるため、分解可能な論理式の効率的処理が可能になる。
• 境界点の除去を用いることで、DP手順と比較して生成される解釈節の数を削減でき、効率性が向上した。
• D-sequentフレームワークにより、変数の冗長性の形式的かつ整合的かつ終了可能な導出が可能になり、全割り当ての列挙の必要がなくなる。
• 単純な実装による予備実験では、論理式が独立した部分論理式から構成される場合に、指数的性能向上が得られた。