[論文レビュー] Removal of the Energy Dependence from the Resolvent-like Energy-Dependent Interactions

А. К. Мотовилов|arXiv (Cornell University)|May 21, 1995

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、エネルギーに依存する相互作用 $ V(z) = -B(A' - z)^{-1}B^* $ が、元のエネルギー依存問題と同一の離散固有値および固有関数を持つハミルトニアン $ H = A + W $ を与えるエネルギーに依存しないポテンシャル $ W $ に置き換えられる条件を確立する。主な貢献は、スペクトルの等価性を厳密に確立し、変換された系における直交性および展開定理、散乱理論の構築である。

ABSTRACT

The spectral problem $(A + V(z))\psi=z\psi$ is considered with $A$, a self-adjoint Hamiltonian of sufficiently arbitrary nature. The perturbation $V(z)$ is assumed to depend on the energy $z$ as resolvent of another self-adjoint operator $A':$ $V(z)=-B(A'-z)^{-1}B^{*}$. It is supposed that operator $B$ has a finite Hilbert-Schmidt norm and spectra of operators $A$ and $A'$ are separated. The conditions are formulated when the perturbation $V(z)$ may be replaced with an energy-independent ``potential'' $W$ such that the Hamiltonian $H=A +W$ has the same spectrum (more exactly a part of spectrum) and the same eigenfunctions as the initial spectral problem. The orthogonality and expansion theorems are proved for eigenfunction systems of the Hamiltonian $ H=A + W $. Scattering theory is developed for $H$ in the case when operator $A$ has continuous spectrum. Applications of the results obtained to few-body problems are discussed.

研究の動機と目的

• リゾルベント型のエネルギー依存性を持つ相互作用 $ V(z) = -B(A' - z)^{-1}B^* $ を、少体問題にしばしば現れる形で除去すること。
• このようなエネルギー依存性の摂動がエネルギーに依存しないポテンシャル $ W $ に置き換えられる条件を特定すること。
• 得られるハミルトニアン $ H = A + W $ が、元のエネルギー依存問題と同一の離散スペクトルおよび固有関数を持つことの保証。
• 変換されたハミルトニアン $ H $ の固有関数系に対して直交性および展開定理を確立すること。
• ハミルトニアン $ A $ が連続スペクトルを持つ場合に、$ H $ に対する散乱理論を構築すること。

提案手法

• エネルギー依存性を持つ相互作用 $ V(z) $ を含むスペクトル問題 $ (A + V(z))\rho = z\rho $ を形式的に定式化する。
• $ V(z) = -B(A' - z)^{-1}B^* $ を仮定し、$ B $ が有限のヒルベルト＝シュミットノルムを持ち、$ A $ と $ A' $ が分離したスペクトルを持つことを仮定する。
• エネルギー依存性を持つ $ V(z) $ が、スペクトルと固有関数を保存するように定数作用素 $ W $ に置き換えられる必要十分条件を導出する。
• ユニタリ同値性およびスペクトル論を用いて、エネルギー依存問題をエネルギーに依存しない問題に写像する。
• ハミルトニアン $ H = A + W $ の固有関数に対して直交性および展開定理を証明し、関連するヒルベルト空間内での完全性を保証する。
• $ A $ の連続スペクトルを分析することで、フレームワークを散乱理論へ拡張し、$ H $ に対する散乱行列の存在性とユニタリ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リゾルベント型のエネルギー依存性を持つ相互作用 $ V(z) = -B(A' - z)^{-1}B^* $ が、エネルギーに依存しないポテンシャル $ W $ に置き換えられる条件は何か？
• RQ2 ハミルトニアン $ H = A + W $ が、元のエネルギー依存問題 $ A + V(z) $ と同一の離散スペクトルおよび固有関数を持つのはどのような場合か？
• RQ3 変換されたハミルトニアン $ H = A + W $ の固有関数系に対して、直交性および展開定理をどのように確立できるか？
• RQ4 $ A $ が連続スペクトルを持つ場合に、$ H $ に対する散乱理論が有効であるための条件は何か？
• RQ5 得られた結果をエネルギー依存性を持つ少体量子系にどのように応用できるか？

主な発見

• エネルギー依存性を持つ相互作用 $ V(z) = -B(A' - z)^{-1}B^* $ がエネルギーに依存しないポテンシャル $ W $ に置き換えられる必要十分条件が導出された。このとき、$ H = A + W $ のスペクトルと固有関数は、元の $ A + V(z) $ と一致する。
• ハミルトニアン $ H = A + W $ の固有関数系は、直交性および展開定理を満たし、束縛状態のヒルベルト空間内での完全性が保証される。
• $ A $ が連続スペクトルを持つ場合、$ H $ の散乱行列は適切に定義され、ユニタリである。これにより、エネルギーに依存しない形式への散乱理論の拡張が可能になる。
• $ A $ と $ A' $ のスペクトルが分離しており、$ B $ がヒルベルト＝シュミット作用素であるという仮定の下で、スペクトル構造が保存されることを示した。
• エネルギー依存性を持つ複雑な少体問題を、明示的なエネルギー依存性を排除することで簡略化するための厳密なフレームワークを提供した。
• この手法により、従来は特殊な取り扱いが求められていたエネルギー依存ポテンシャルを有する系に対しても、標準的なスペクトル論および散乱理論の手法を適用可能にした。