[論文レビュー] Renault's Equivalence Theorem for Reduced Groupoid C*-algebras

Aidan Sims, Dana P. Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、リンク群コホモロジー構成と整合的なハール系を用いて、同値な群コホモロジーが、その縮小群コホモロジー C*-代数に関してモーリタ同値であることを確立する。また、リエッフェル対応が、縮小代数への標準的な全射の核を保存することを証明し、全代数と縮小代数の同値定理の両者との整合性を保証する。

ABSTRACT

We use the technology of linking groupoids to show that equivalent groupoids have Morita equivalent reduced C*-algebras. This equivalence is compatible in a natural way in with the Equivalence Theorem for full groupoid C*-algebras.

研究の動機と目的

• 同値な群コホモロジーが、その縮小 C*-代数に関してモーリタ同値であるという結果を、形式的に確立されていないが広く仮定されている事実を、厳密に証明すること。
• 縮小代数のモーリタ同値性が、全群コホモロジー C*-代数の古典的同値定理およびリエッフェル誘導と整合することを示すこと。
• 群コホモロジー同値性のリンク群コホモロジーにハール系を構成し、リンク群コホモロジーの全 C*-代数を形成可能にする。
• 縮小代数の証明が、分解定理（Disintegration Theorem）を必要としないことの明確化により、全代数の場合よりもより初等的であることを示すこと。
• 特に分離性仮定に関して、分解定理が適用される条件についての文献における曖昧さを解消すること。

提案手法

• 群コホモロジー同値性 $ Z $ に関連するリンク群コホモロジー $ L $ を用い、$ G $, $ H $, $ Z $ を1つの群コホモロジー構造に統合する。
• 群コホモロジー $ G $ と $ H $ のハール系から、$ L $ 上にハール系を構成し、$ C^*(L) $ が適切に定義され、不変性 bimodule $ extsf{X} $ のリンク代数 $ L( extsf{X}) $ に同型であることを保証する。
• $ L $ の縮小 C*-代数 $ C^*_{r}(L) $ が、bimodule $ extsf{X} $ の商 $ extsf{X}_r $ のリンク代数に同型であることを示す。
• リエッフェルの誘導表現およびモーリタ同値の理論を適用し、$ C^*(H) \to C^*_{r}(H) $ の核が、リエッフェル対応によって $ C^*(G) \to C^*_{r}(G) $ の核に移ることを示す。
• 分解定理を用いずに、リンク群コホモロジーの構造とそのハール系に依存することで、縮小代数のモーリタ同値性を確立できることを示す。
• 分離性が、前表現の有界性に必要でないことを明確にし、従来の分解定理の定式化における不要な仮定を除去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全群コホモロジー C*-代数の間のモーリタ同値性は、それらの縮小対応する代数に対しても拡張可能か？
• RQ2 元の群コホモロジーにハール系があるとき、リンク群コホモロジーにハール系を導入できるか？
• RQ3 表現間のリエッフェル対応は、縮小代数への標準的全射と整合的か？
• RQ4 分解定理に依存せずに、縮小群コホモロジー C*-代数の同値定理を証明できるか？
• RQ5 特にヒルベルト空間の分離性に関して、分解定理が適用可能な最小限の条件は何か？

主な発見

• 群コホモロジー同値性のリンク群コホモロジー $ L $ は、$ G $ と $ H $ にハール系があるならば、ハール系を有し、$ C^*(L) $ は不変性 bimodule $ extsf{X} $ のリンク代数 $ L( extsf{X}) $ に同型である。
• $ C^*_{r}(G) $ と $ C^*_{r}(H) $ は、bimodule $ extsf{X} $ の商 $ extsf{X}_r $（$ C_c(Z) $ の完備化）を介してモーリタ同値である。
• リエッフェル対応は、$ C^*(G) \to C^*_{r}(G) $ の核 $ I_{C^*_{r}(G)} $ を $ C^*(H) \to C^*_{r}(H) $ の核 $ I_{C^*_{r}(H)} $ に写す。これにより、縮小代数構造との整合性が保証される。
• 全射 $ C^*(H) \to C^*_{r}(H) $ を通じて因数分解する表現 $ \rho $ が存在するならば、誘導表現 $ \textsf{X}\text{-}\text{Ind}\rho $ も $ C^*_{r}(G) $ を通じて因数分解する。これにより、誘導における一貫性が確認される。
• 縮小同値定理の証明は、分解定理を必要とせず、全代数の場合よりもより初等的である。
• 分解定理における分離性仮定は、前表現の有界性には不要である。十分なのは、分離性を持つ部分空間（特に循環部分空間）を考慮することのみである。