[論文レビュー] Renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails

Zakhar Kabluchko, Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近的変動が緩やかに変化する到着間隔時間の尾部を有する再生ショットノイズ過程の弱収束を確立し、緩やかに変化する関数の逆関数を含む非線形スケーリングの後、過程が変換された逆極値過程に有限次元分布において収束することを示している。主な結果は、極限過程が時間変換された逆安定サブディュレーターとして特定され、その周辺分布がべき関数でスケーリングされた指数分布に従うことを示している。

ABSTRACT

We investigate weak convergence of renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails of the inter-shot times. We show that these processes, after an appropriate non-linear scaling, converge in the sense of finite-dimensional distributions to an inverse extremal process.

研究の動機と目的

• 到着間隔時間が緩やかに変化する尾部を有する再生ショットノイズ過程の漸近的挙動を分析すること。
• 非指数的で重尾を有する到着間隔分布の下での、このような過程の弱収束に関する文献におけるギャップを埋めること。
• 緩やかに変化する関数の逆関数に基づく非線形スケーリングを用いて、これらの過程の関数極限定理を確立すること。
• 極限過程を時間変換された逆極値過程として特徴づけ、明示的な周辺分布および増分分布を提示すること。

提案手法

• 著者たちは、緩やかに変化する尾部を有するランダムウォークの関数極限定理を用い、特に $ n^{-1}L(S_{[n\cdot]}) $ が $ M_1 $-位相において極値過程 $ m(\cdot) $ に収束することを示している。
• 彼らは、関数 $ L^{\leftarrow} $ の逆関数を用いた非線形時間変換 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $ を適用し、重尾的挙動を正規化している。
• ショットノイズ過程 $ Y(t) $ は $ t \cdot h(L^{\leftarrow}(t)) $ でスケーリングされ、ここで $ h \circ L^{\leftarrow} $ は指数 $ \alpha $ を持つ正規変動関数であるため、適切な正規化が保証される。
• 収束は、関数がジャンプ時刻から離れた区間とジャンプの近傍の2つの部分に積分を分解することで、有限次元分布の弱収束を用いて証明されている。
• 証明は、$ M_1 $-位相における最初の通過時刻写像の連続性と、極値過程の自己相似性に依存している。
• 補助的補題により、任意の緩やかに変化する関数は、漸近的挙動に影響を及げない厳密に増加かつ連続なバージョンに置き換え可能であることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到着間隔時間が緩やかに変化する尾部を有する再生ショットノイズ過程の極限挙動は何か？
• RQ2 非退化な弱収束を得るために、時間スケールと振幅スケールはどのように変換すべきか？
• RQ3 有限次元分布およびパスの性質の観点から、極限過程の性質は何か？
• RQ4 スケーリング関数 $ L^{\leftarrow} $ は収束および極限の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 極限過程を明示的に特徴づけることができるか？その増分および周辺分布は何か？

主な発見

• スケーリングされた再生ショットノイズ過程の有限次元分布は、$ m^{\leftarrow} $ を極値過程の一般化逆関数とする $ (u_1^\alpha m^{\leftarrow}(u_1), \dots, u_n^\alpha m^{\leftarrow}(u_n)) $ の分布に収束する。
• 極限過程 $ m^{\leftarrow}(u) $ は独立な増分をもち、周辺分布が指数分布に従う：$ \mathbb{P}\{m^{\leftarrow}(u) > v\} = e^{-v/u} $。
• 収束は、到着間隔分布の緩やかに変化する尾部を反映する非線形時間変換 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $ の下で成立する。
• 極限過程は、極値過程のパスの性質のおかげで、任意の固定された $ u \geq 0 $ でほとんど確実に連続である。
• 収束は、有限次元分布の弱収束の意味で成立し、極限過程は時間変換された逆安定サブディュレーターである。
• 本結果は、線形正規化が失敗する緩やかに変化する尾部のケースに、古典的ショットノイズ収束理論を拡張し、非線形スケーリングが本質的であることを示している。