[論文レビュー] Renewal theory for extremal Markov sequences of the Kendall type

B. H. Jasiulis-Gołdyn, Karolina Naskręt+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された畳み込みと正規変動関数を用いて、ケネディランダムウォークによって駆動される極値マルコフ列列に対する再生理論を確立する。ケネディ畳み込みにおけるブラックウェル型定理と初等的再生定理を証明し、ステップ分布の $ \theta $ 次モーメントが有限である場合、再生関数 $ R(t) $ が $ R(t) \to \frac{2}{m(\theta)} t^\theta $ として漸近的に成長することを示す。収束速度はウィリアムソン変換と尾部挙動によって支配される。

ABSTRACT

The paper deals with renewal theory for a class of extremal Markov sequences connected with the Kendall convolution. We consider here some particular cases of the Wold processes associated with generalized convolutions. We prove an analogue of the Fredholm theorem for all regular generalized convolutions algebras. Using regularly varying functions we prove a Blackwell theorem for renewal processes defined by Kendall random walks.

研究の動機と目的

• ケネディランダムウォークによって生成される極値マルコフ列列に対する再生理論の構築。
• 特にフレドホルムおよびブラックウェルの古典的再生定理を一般化された畳み込みの文脈に拡張すること。
• 正規変動関数を用いてケネディ畳み込み下での再生過程の漸近的挙動の分析。
• ウィリアムソン変換を用いて再生数え上げ過程のスケーリング極限およびそのモーメントを特徴付ける。
• 重い尾を持つステップ分布下での再生関数および相互到着時間分布の明確な漸近的表現の確立。

提案手法

• 本稿は、一般化された畳み込み、特にケネディ畳み込みを用いて、独立な単位ステップの和がパレート型分布に従う非古典的ランダムウォーク構造を定義する。
• 再生過程の分布を特徴付けるおよび再生関数の漸近的性質を導出するための主要な解析的道具としてウィリアムソン変換を用いる。
• 重い尾を持つ分布を扱い、再生過程のスケーリング極限を導出するため、正規変動関数の理論に依拠する。
• 一般化された畳み込み設定下での再生測度のフレドホルム方程式 $ m = \nu + \nu \diamond m $ が証明され、再生測度の存在および一意性が保証される。
• 差分 $ R(t+h) - R(t) $ の分析によりブラックウェル型定理が導出され、適切なモーメント条件の下で $ \frac{2h}{m(\theta)} $ に収束することが示される。
• 弱収束技法を用いて、正規化された再生過程の極限分布を導出する。例えば $ S_n / U(n) \Rightarrow Z^{-1/(\alpha-\theta)} $ が成り立ち、ここで $ Z $ は特性関数 $ \Phi_Z(v) = (1 - iv)^{-2} $ を持つ化合物分布である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的フレドホルムおよびブラックウェルの再生定理は、特にケネディ畳み込みを含む一般化された畳み込みにどのように拡張可能か？
• RQ2 単位ステップの尾部が正規変動関数的である場合、再生関数 $ R(t) = \sum_{n=0}^\infty F^{\diamond n}(t) $ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 ケネディランダムウォーク下での正規化された再生数え上げ過程 $ N(t) $ の極限分布は何か？
• RQ4 ウィリアムソン変換は一般化された畳み込み下での再生過程の分析をどのように支援するか？
• RQ5 ステップ分布の $ \theta $ 次モーメントが有限である場合、$ R(t) $ および $ R(t+h) - R(t) $ の正確なスケーリング極限と収束速度は何か？

主な発見

• ケネディランダムウォークにおいて初等的再生定理が成立する：$ m(\theta) = E[T_1^\theta] < \infty $ ならば、$ \lim_{t \to \infty} \frac{R(t)}{t^\theta} = \frac{2}{m(\theta)} $ が成り立つ。
• ブラックウェル型定理が確立された：$ h > 0 $ に対して $ \lim_{t \to \infty} \left( \frac{R(t+h)}{(t+h)^{\theta-1}} - \frac{R(t)}{t^{\theta-1}} \right) = \frac{2h}{m(\theta)} $ が成り立つ。
• 尾部が $ \overline{F}(x) \sim x^{-\beta} $ である単位ステップに対して、再生関数は $ \alpha > \beta $ のとき $ R(t) \sim \frac{(\alpha - \beta)(\alpha + \beta)}{\alpha^2} t^{-\beta} $ を満たす。
• $ \alpha = \beta $ のとき、漸近的挙動は $ \alpha t^{-\alpha} \log t \cdot R(t) \to 2 $ であり、$ R(t+h) - R(t) \sim \frac{2h}{\alpha t^{\alpha-1} \log t} $ である。
• 正規化された再生過程 $ S_n / U(n) $ は分布収束して $ Z^{-1/(\alpha-\theta)} $ に収束する。ここで $ Z $ は特性関数 $ \Phi_Z(v) = (1 - iv)^{-2} $ を持つ化合物分布である。
• 数え上げ過程 $ N(t) $ は $ \alpha t^{-\beta} N(t) / \theta \to Z $ に分布収束する。ここで $ \theta = \alpha - \beta $ であり、$ \alpha = \beta $ の場合 $ U(y) \sim (y \log y)^{1/\alpha} $ である。