[論文レビュー] Renewal Time Points for Hawkes Processes

Mads Bonde Raad|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形かつ年齢依存性を持つ Hawkes プロセスを解析するためのリニューアルベースのアプローチを提案する。明示的なリニューアル時刻を構築することで、マルコフ連鎖理論の適用が可能になる。コピュリング時間のモーメントバウンドを確立し、カーネル関数の正値性や単調性を仮定しない機能的中心極限定理（CLT）と時間平均 CLT を証明する。

ABSTRACT

In the last decade Hawkes processes have received much attention as models for functional connectivity in neural spiking networks and other dynamical systems with a cascade behavior. In this paper we establish a renewal approach for analyzing this process. We consider the ordinary nonlinear Hawkes process as well as the more recently described age dependent Hawkes process. We construct renewal-times and establish moment results for these. This gives rise to study the Hawkes process as a Markov chain. As an application, we prove asymptotic results such as a functional CLT and a time-average CLT.

研究の動機と目的

• 非線形かつ年齢依存性を持つ Hawkes プロセスを解析するためのリニューアルフレームワークを構築し、マルコフ連鎖技術の適用を可能にする。
• カーネルに非コンパクトな台を持つ場合でも、明示的なリニューアル時刻を構築し、従来の手法の制限を克服する。
• 同一のポアソン測度によって駆動される二つの Hawkes プロセス間のコピュリング時間のモーメント結果を導出する。
• 一般の可積分性条件の下で、Hawkes プロセスに対して機能的中心極限定理（CLT）と時間平均 CLT を確立する。
• ジャンプサイズ分布の弱いモーメント仮定の下で、再生時間の幾何的エルゴドリシティと指数モーメントバウンドを証明する。

提案手法

• 停止時刻手順を用いてリニューアル時刻を構築する：最小化イベントを待った後、独立な確率的選択により、リニューアルするか時刻を進めるかを決定する。
• リニューアル時刻 $\alpha_\eta$ を、プロセスと補助的な i.i.d. 確率変数が生成する拡大フィルトレーションに関しての停止時刻として定義する。
• コピュリング技術を用いて、二つの Hawkes プロセス間のコピュリング時間をリニューアル時間分布の観点からバウンドする。
• Kac の定理とモーメント生成関数の不等式を用いて、再生時間 $\sigma$ のモーメントバウンドを導出する。
• 生存関数と遷移確率を用いた再帰的分解を用いて、再生時間の関数的期待値を表現する。
• 平均値の定理と収縮収束定理を用いて、モーメント生成関数アプローチにおける指数モーメントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな台を持つカーネル関数を持つ Hawkes プロセスに対して、リニューアル時刻はどのように構築できるか？
• RQ2 同一のポアソンノイズによって駆動される二つの Hawkes プロセス間のコピュリング時間に、どのようなモーメント性質を確立できるか？
• RQ3 カーネル関数の正値性や単調性を仮定しない場合でも、Hawkes プロセスに対して機能的 CLT を証明できるか？
• RQ4 再生時間の指数モーメントが有限であるための条件は何か？
• RQ5 Hawkes プロセスの年齢依存構造は、再生時間の存在性とモーメントにどのように影響を与えるか？

主な発見

• リニューアル時刻 $\alpha_\eta$ は明示的に構築可能であり、シミュレーションが可能であるため、コピュリングやシミュレーション研究に実用的である。
• 同一のポアソンノイズによって駆動される二つの Hawkes プロセス間のコピュリング時間は、有限のモーメントを持つ。そのモーメントはカーネル $h$ の $L^1$-ノルムに依存し、コンパクトな台を持つカーネルの結果を拡張する。
• 一般の可積分性条件の下で、統合過程 $t^{-1/2}\int_0^t H(Z_{[s-D,s]})ds$ に対して機能的 CLT が確立される。
• 一般の関数的に対して時間平均 CLT が証明され、従来の結果を非線形かつ非単調なカーネルへ拡張する。
• ジャンプサイズ分布に $q+1$-次のモーメントがある限り、再生時間 $\sigma$ はすべての $q \geq 0$ に対して $q$-次のモーメントを有する。また、ジャンプサイズに指数モーメントがあれば、再生時間に対しても指数モーメントが有効である。
• ジャンプサイズの $q+1$-次のモーメントが有限であれば、埋め込まれたマルコフ連鎖の幾何的エルゴドリシティが確立され、再生時間に対して指数モーメントバウンドが得られる。