[論文レビュー] Renormalisation, wavelets and the Dirichlet-Shannon kernels

T. Thiemann|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トーラスなどのコンパクト空間上での正規直交ウェーブレット基底を構築するための新規なアプローチを提示する。Dirichlet-Shannonカーネルをスケーリング関数として用いることで、運動量空間におけるコンパクトサポートと位置空間における明示的表現を活かし、一般化された多スケール解析（MRA）を可能にする。この手法により、構成的量子場理論（CQFT）における効率的な再生行列が実現可能となり、ハールウェーブレットに比べて滑らかさと解析的制御性に優れる一方で、局在性およびカットオフ性質を保持する。

ABSTRACT

In constructive quantum field theory (CQFT) it is customary to first regularise the theory at finite UV and IR cut-off. Then one first removes the UV cutoff using renormalisation techniques applied to families of CQFT's labelled by finite UV resolutions and then takes the thermodynamic limit. Alternatively, one may try to work directly without IR cut-off. More recently, wavelets have been proposed to define the renormalisation flow of CQFT's which is natural as they come accompanied with a multi-resolution analysis (MRA). However, wavelets so far have been mostly studied in the non-compact case. Practically useful wavelets that display compact support and some degree of smoothness can be constructed on the real line using Fourier space techniques but explicit formulae as functions of position are rarely available. Compactly supported wavelets can be periodised by summing over period translates keeping orthogonality properties but still yield to rather complicated expressions which generically lose their smoothness and position locality properties. It transpires that a direct approach to wavelets in the compact case is desirable. In this contribution we show that the Dirichlet-Shannon kernels serve as a natural scaling function to define generalised orthonormal wavelet bases on tori or copies of real lines respectively. These generalised wavelets are smooth, are simple explicitly computable functions, display quasi-local properties close to the Haar wavelet and have compact momentum supprt. Accordingly they have a built-in cut-off both in position and momentum, making them very useful for renormalisation applications.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体（例えばトーラス）上での正規直交ウェーブレット基底を、非コンパクトウェーブレットの周期化に依存せずに体系的かつ直接的に構築する方法を開発すること。
• 線形結合ではなく、有理関数結合によるスケーリング関数を用いることで、コンパクト空間上での一般化された多スケール解析（MRA）フレームワークを確立すること。
• Dirichlet-Shannonカーネルが、位置空間および運動量空間の両方で局在化された、滑らかでコンパクトサポートを持つウェーブレットを生成する有効なスケーリング関数であることを示すこと。
• この構成が、ハールウェーブレットの滑らかさの欠如および劣悪な減衰性質に起因する欠陥を克服し、構成的量子場理論（CQFT）における良好に定義された再生行列フローを可能にすること。
• 局在性および直交性を維持しつつ、明示的な計算が可能な数学的に取り扱いやすく解析的に管理可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿では、単位トーラス $T^1 = [0,1)$ 上に、Dirichlet-Shannonカーネルをスケーリング関数として用いた一般化されたMRAを構築する。このカーネルは、運動量空間におけるコンパクトサポートを持つフーリエ変換によって定義される。
• スケーリング関数 $\phi_M(x)$ は、$|k| \leq \pi M$ のとき1、それ以外で0である特性関数 $\chi_M(k)$ の逆フーリエ変換として定義され、位置空間ではsinc関数に類似した関数が得られる。
• ウェーブレット関数は、$M < M'$ のとき $V_M \subset V_{M'}$ となる入れ子の部分空間の直交補空間 $W_M$ から導出される。$W_M$ は解像度の差に対応する正規直交基底を形成する。
• カーネル $K_M$ は、$M$ を超える高周波成分への直交射影として定義され、$K_M f = \sum_{|n| > (M-1)/2} \omega(n) \hat{f}(n) e_n$ となる。ここで $\omega(n)$ は重み関数である。
• この手法により、得られるウェーブレットは、滑らかで運動量空間にコンパクトサポートを持ち、位置空間でも明示的に計算可能であり、フーリエ変換によって制御された減衰性質を有する。
• このフレームワークは、フーリエ調和関数を適切な調和基底（例えば $S^2$ 上の球面調和関数）に置き換えることで、トーラスを超えるコンパクトトポロジーへと拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトウェーブレットの周期化に依存せずに、トーラスのようなコンパクト空間上に一般化された多スケール解析（MRA）を構築できるか？
• RQ2 Dirichlet-Shannonカーネルは、位置空間および運動量空間の両方で局在化された正規直交ウェーブレット基底を生成する有効なスケーリング関数として機能するか？
• RQ3 Dirichlet-Shannonウェーブレットに基づく再生行列フローは、滑らかさと減衰性質の観点から、ハールウェーブレットのフローに比べて解析的にどのように優れているか？
• RQ4 運動量空間にコンパクトサポートを持つカーネルを用いることは、構成的量子場理論（CQFT）の再生行列にどのような意味を持つのか？
• RQ5 フーリエ調和関数を適切な直交基底に置き換えることで、球面などの他のコンパクト多様体に対してもMRAフレームワークを一般化できるか？

主な発見

• Dirichlet-Shannonカーネルは、位置空間で明示的に計算可能で滑らかであり、運動量空間にコンパクトサポートを持つスケーリング関数を提供し、トーラス上での良好に定義されたMRAを可能にする。
• 得られるウェーブレットは正規直交であり、ハールに類似した準局在性を示し、そのノルムの上界は $||K_M f||_{\infty} \leq M^{-1} \cdot C \cdot \sup_n |n^4 \hat{f}(n)|$ と表され、$M \to \infty$ のとき $M^{-1}$ の速度で減衰する。
• このMRAに基づく再生行列フローは、ハールウェーブレットに比べて滑らかさと減衰性質の観点で優れた解析的性質を示す。これは、カーネルの運動量空間におけるコンパクトサポートに起因する。
• 非コンパクトケースからのコンパクトサポートを持つウェーブレットを周期化する際によく見られる滑らかさの喪失および位置局在性の損失を回避する。
• 部分空間の入れ子 $V_M \subset V_{M'}$ を用いることで、CQFTにおける自然な再生行列フローが実現可能であり、各 $W_M$ が解像度の差に対応する正規直交基底を提供する。
• フーリエ調和関数を適切な直交基底（例えば $S^2$ 上の球面調和関数）に置き換えることで、このアプローチは他のコンパクトトポロジーへと一般化可能であり、MRA構造を保持する。