[論文レビュー] Renormalizable Models in Rank $d\geq 2$ Tensorial Group Field Theory

Joseph Ben Geloun|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 65被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 2$ において $G_D = U(1)^D$ もしくは $SU(2)^D$ 対称性を持つ、$p^{2a}$-型分散関係（$a \in (0,1]$）を持つ運動項を用いた、可重整化なテンソル的群場理論の枠組みを確立する。$k \geq 4$ の相互作用に対して、可重整化な行列モデルの塔を同定し、$k \leq 6$ である $d \geq 3$ テンソルモデルがすべてUVで漸近的自由であることを証明する。また、$Φ^4_2$ 行列モデルは1ループで$β$関数が消えることが示され、グロッセ＝ヴルケンハウアー・モデルと類似している。

ABSTRACT

Classes of renormalizable models in the Tensorial Group Field Theory framework are investigated. The rank $d$ tensor fields are defined over $d$ copies of a group manifold $G_D=U(1)^D$ or $G_D= SU(2)^D$ with no symmetry and no gauge invariance assumed on the fields. In particular, we explore the space of renormalizable models endowed with a kinetic term corresponding to a sum of momenta of the form $p^{2a}$, $a\in ]0,1]$. This study is tailored for models equipped with Laplacian dynamics on $G_D$ (case $a=1$) but also for more exotic nonlocal models in quantum topology (case $0

研究の動機と目的

• 非局所的またはラプラシアン型の力学を持つ $d\geq2$ 次元における高ランクテンソルモデルへの可重整化量子場理論技法の拡張を図ること。
• テンソリアル群場理論におけるUVで有限で可重整化なモデルを生み出す相互作用および運動項構造のクラスを同定すること。
• 行列モデルからの $1/N$-展開および可重整化技法を高ランクテンソルモデルへ一般化すること。
• $Φ^6$ 相互作用までを対象としたUV挙動の分析、特に漸近的自由性および $β$-関数構造に焦点を当てる。
• 行列モデルの類似物を通じて、2次元量子重力における既知の結果とテンソルモデルを結びつけること。

提案手法

• ラプラシアン力学（$a=1$）および非局所モデル（$0<a<1$）を一般化する $p^{2a}$-型運動項を有するテンソルモデルに対するマルチスケール解析を構築する。
• グラフの位相的性質および頂点構造に基づいて導出される発散度 $\omega_d(\mathcal{G})$ を用いた発散度のべき乗数定理を適用する。
• カラーテンソルグラフ形式を用いて、原始的発散を示すフェイニマン図を分類し、その発散度を計算する。
• 発散振幅およびカウンタ項構造の明示的計算を通じて、1ループおよび2ループにおける $β$-関数を導出する。
• 発散度がゼロ（$\omega_d=0$）または負になる条件を同定し、可重整化性を保証する。
• オイラー＝マクローリンの公式および面振幅展開を用いて、UV領域における振幅の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $a \in (0,1]$ である $p^{2a}$-型運動項を有する $d \geq 2$ ランクのテンソルモデルのうち、どのクラスが可重整化であるか？
• RQ2 $Φ^k_2$ クラスにおいて $k \geq 4$ 相互作用に対して、可重整化な行列モデルの塔を構築できるか？
• RQ3 すべての $d \geq 3$ ランクで $k \leq 6$ 相互作用を有するテンソルモデルはUVで漸近的自由か？
• RQ4 $Φ^4_2$ 行列モデルは、グロッセ＝ヴルケンハウアー・モデルと同様に1ループで $β$-関数が消えるか？
• RQ5 $Φ^8_2$ 行列モデルの原始的発散グラフの構造は何か？ また、その発散度は $πμ G_D$ および $a$ にどのように依存するか？

主な発見

• すべての $d \geq 3$ ランクで $k \leq 6$ 相互作用を有するテンソルモデルがUVで漸近的自由であることが証明され、$β$-関数は一次のオーダーで消える。
• $k \geq 4$ に対して可重整化な行列モデルの塔が同定され、$Φ^4_2$ モデルは1ループで $β$-関数が消える。
• $Φ^6_2$ 行列モデルは非自明な2ループ $β$-関数を示し、UVにおける非自明なダイナミクスを示している。
• $Φ^8_2$ 行列モデルでは、頂点および境界構造に応じて、発散度 $\omega_d = 0$、$\dim G_D - 2a$、$2(\text{dim} G_D - 2a)$、$3(\text{dim} G_D - 2a)$ の原始的発散グラフが分類される。
• 発散度 $P_a(\mathcal{G})$ が発散度を決定し、$P_a(\mathcal{G}) = 0$ または $P_a(\mathcal{G}) = (2a - \dim G_D)n$ を満たす解は、対数発散またはべき発散のグラフを特定する。
• 解析により、$Φ^4_2$ モデルがグロッセ＝ヴルケンハウアー・モデルと同様に1ループで $β$-関数が消えるという主要な特徴を共有することが確認され、非可換量子場理論との深い関係が示唆された。