[論文レビュー] Renormalizable Theories from Fuzzy Higher Dimensions

Paolo Aschieri, J. Madore+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、高次元におけるアーベルゲージ理論に「かすみ」した余剰次元を導入することで、4次元における renormalizable な非アーベルゲージ理論を構築する、新しい次元削減スキーム—fuzzy コセット空間次元削減（Fuzzy-CSDR）を提案する。連続的でコンパクトな空間を有限次元の行列代数（fuzzy コセット）に置き換えることで、理論はパワー・カウンティングの意味で renormalizable になり、同時に余剰次元内での自然な対称性の自発的破れとフェルミオンの質量生成を実現する。その結果、現実的な4次元素粒子模型が得られる。

ABSTRACT

We consider gauge theories defined in higher dimensions where the extra dimensions form a fuzzy space (a finite matrix manifold). We reinterpret these gauge theories as four-dimensional theories with Kaluza-Klein modes. We then perform a generalized `a la Forgacs-Manton dimensional reduction. We emphasize some striking features emerging such as (i) the appearance of non-abelian gauge theories in four dimensions starting from an abelian gauge theory in higher dimensions, (ii) the fact that the spontaneous symmetry breaking of the theory takes place entirely in the extra dimensions and (iii) the renormalizability of the theory both in higher as well as in four dimensions.

研究の動機と目的

• 高次元ゲージ理論から導かれる4次元量子場理論における renormalizability を保つ新しい次元削減フレームワークの開発。
• 非可換的で有限次元的な「fuzzy」余剰次元が、非アーベルゲージ群や対称性の自発的破れを含む現実的な素粒子模型をどのように生成するかの探求。
• Fuzzy-CSDR スキームが、高次元でも4次元への次元削減後でも renormalizable な理論を導くことを示すこと。
• ゲージ群の埋め込みの役割を明確にすること：余剰次元が「fuzzy」である場合、4次元における非アーベルゲージ群が高次元における U(1) ゲージ理論からどのように生じるかを示すこと。
• 標準的な CSDR と比較して、fuzzy コンパクト化が電弱対称性の自発的破れをより自然かつ現実的に実現するメカニズムを提供できるかの検討。

提案手法

• 理論は多様体 $M^4 \times (S/R)_F$ 上に定式化され、ここで $(S/R)_F$ は、対称空間 $S/R$ の有限次元非可換近似であるfuzzy コセット空間である。
• ゲージ理論は代数 $A = Fun(M^4) \otimes M_N$ 上に定義され、ここで $M_N$ はfuzzy な余剰次元を表す $N \times N$ 行列代数である。
• Fuzzy-CSDR の制約は、fuzzy コセットの対称性群 $S$ の作用に関して場が共変であると要求することによって課される。これは標準的な CSDR に類似しているが、有限次元行列構造に適応されたものである。
• 高次元ゲージ場は、$M^4$ 上の行列値場の展開として表され、元の $S$-作用の完全な対称性構造を保ったまま、4次元への有効な次元削減が実現される。
• 結果として得られる4次元理論は、fuzzy 空間の有限次元性により紫外発散がカットオフされることにより、パワー・カウンティングの意味で renormalizable であることが示される。
• 対称性の自発的破れのメカニズムは、Fuzzy-CSDR の制約自体に埋め込まれており、4次元に明示的なヒッグス項を導入することなく「メキシコ帽型」のポテンシャルが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(1) ゲージ理論がfuzzy な余剰次元を有する高次元において、4次元で非アーベルゲージ群を生成できるか？
• RQ2 Fuzzy-CSDR スキームは、元の高次元理論が非 renormalizable であっても、4次元の renormalizable な量子場理論を導くか？
• RQ3 Fuzzy-CSDR フレームワークにおいて、対称性の自発的破れはどのように起こり、どこに局在化するか？
• RQ4 fuzzy な CSDR と標準的な CSDR の両方において、等長群 $S$ のゲージ群 $G$ への埋め込みの役割は何か？
• RQ5 Fuzzy-CSDR フレームワークは、自然に4次元で質量のあるフェルミオンと Yukawa 耦合項を生成できるか？

主な発見

• Fuzzy-CSDR スキームは、fuzzy な余剰次元の非自明な変換性のおかげで、高次元におけるアーベルゲージ理論から4次元における非アーベルゲージ理論を生成する。
• 対称性の自発的破れは、Fuzzy-CSDR の制約の解法によって完全に余剰次元内でする。4次元に明示的なヒッグス場を必要としない。
• 得られる4次元理論は、フル カルツァ＝クライン極限における標準的な CSDR が非 renormalizable であるのとは対照的に、パワー・カウンティングの意味で renormalizable である。
• 4次元におけるゲージ群は、元の高次元ゲージ群 $G$ における対称性群 $S$ の可換子から生じる。これは、余剰次元の richer な微分計算のおかげで、$R$ の部分群から生じるのとは異なる。
• ヒッグスポテンシャルは標準的な「メキシコ帽型」の形を取るが、真空期待値はfuzzy 制約を通じて動的に生成され、その結果、4次元に物理的ヒッグス粒子と質量のあるフェルミオンが現れる。
• 理論は連続的な高次元理論と同一の等長対称性と結合次元を持つが、fuzzy 空間の有限次元行列構造のおかげで renormalizability を達成する。