[論文レビュー] Renormalization and quantum modular forms, part I: Maass wave forms

Yingkun Li, Hieu T. Ngo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、q-超幾何級数の正規化手続きを導入し、量子モジュラー形式を用いて、半分のフーリエ係数しか含まない級数から、マース形式の欠落している半分のフーリエ係数を構成する。これはフレーマン・ダイソンのビジョンを裏付けるものであり、ヘッケキャラクターとモジュラー対称性を通じて、深いつながりを持つ算術的構造を明らかにする。

ABSTRACT

Sander Zwegers showed that Ramanujan's mock theta functions are $q$-hypergeometric series, whose $q$-expansion coefficients are half of the Fourier coefficients of a non-holomorphic modular form. George Andrews, Henri Cohen, Freeman Dyson, and Dean Hickerson found a pair of $q$-hypergeometric series each of which contains half of the Fourier coefficients of Maass waveform of eigenvalue $1/4$. This series of papers shows that a $q$-series construction, called ``renormalization'', yields the other half of the Fourier coefficients from a series which contains half of them. This construction unifies examples associated with mock theta functions and examples associated with Maass waveforms. Thus confirming a conviction of Freeman Dyson. This construction is natural in the context of Don Zagier's quantum modular forms. Detailed discussion of the role quantum modular forms play in this construction is given. New examples associated to Maass waveforms are given in Part I. Part II contains new examples associated with mock theta functions, and classical modular forms. Part II contains an extensive survey of the ``renormalization'' construction. A large number of examples and open questions which share similarities to the main examples, but remain mysterious, are given.

研究の動機と目的

• マース波動関数のフーリエ係数とモック・トーティエ級数の構成を、同一のq-級数正規化プロセスを用いて統一すること。
• |q| < 1 で収束するq-ハイパージェオメトリック級数H(q)が、マース形式のフーリエ係数の半分しか含まない場合、正規化によって残りの半分を回復できることを示すこと。
• ヘッケキャラクターを介して、正規化、量子モジュラー形式、および二次体の算術的構造との自然な関係を確立すること。
• 固有値1/4を持つマース波動関数の新規例を提示し、そのフーリエ係数がq-級数の正規化によって得られることを示すこと。
• 正規化プロセスにおける謎めいたゴースト項の構造を、モジュラー形式および除数関数の観点から同定・特徴づけること。

提案手法

• |q| < 1 で収束するq-ハイパージェオメトリック級数H(q)を、部分和の極限を用いて|q| > 1 へ拡張する正規化写像S[H](q)を定義する。
• シャドウS[H](q)とゴーストG[H](q)の成分を導入し、G[H](q)は単位根において無限回の零点を持ち、S[H](q)は補完的なフーリエ係数を捉える。
• 変換H_n(q^{-1}) → H_∞(q^{-1})を用いて正規化された級数を定義し、収束性とモジュラーに類似した性質を保証する。
• ベッセル関数と固有値1/4のフーリエ展開を介して、正規化された級数を非正則なマース波動関数と関連付ける。
• 既知の級数σ(q)とσ*(q)にこの手法を適用し、S[σ](q) = -σ*(q)が成り立つことを示し、完全なマース形式が回復されることを確認する。
• 正規化プロセスを量子モジュラー形式と関連付け、単位根における不連続性に着目し、級数が「漏れ出し」てモジュラー性を示すことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化プロセスにより、q-級数に半分のフーリエ係数しか含まないマース波動関数の全係数を回復できるか？
• RQ2 量子モジュラー形式は、正規化プロセスおよび単位根における収束性をどのように媒介するか？
• RQ3 ゴースト項G[H](q)はどのように構造化されており、モジュラー形式と算術関数の積として特徴づけられるか？
• RQ4 正規化された級数は、虚二次体におけるヘッケキャラクターまたは不定形二次形式に対応するか？
• RQ5 モック・トーティエ級数、マース波動関数、量子モジュラー形式を、q-級数正規化を通じて統一的な枠組みで結びつけることは可能か？

主な発見

• 正規化写像S[H](q)は、正のフーリエ係数のみを含むq-級数H(q)から、マース波動関数の負のフーリエ係数を効果的に回復する。
• σ(q)に対しては、S[σ](q) = -σ*(q)が成り立ち、σ*(q)は既知のq-級数であり、その係数はマース形式φ₀の負のフーリエ係数に一致する。
• f₅(q), f₆(q), f₇(q), f₈(q)の級数がq → q⁻¹の変換で関連付けられていることから、これらは固有値1/4のマース形式の正負の係数を符号付きで符号化していると示唆される。
• ゴースト項G[H](q)は単位根において無限回の零点を持ち、一般にはモジュラー形式と除数関数の積として現れるが、その一般的な構造は未解明のままである。
• 級数L(q)はL(q⁻¹) = L(–q)を満たし、ℤ[√2]にノルムが–1の単元が存在することを反映しており、対称性と算術的構造がℚ(√2)の体において結びついている。
• 正規化プロセスにより、q-ハイパージェオメトリック級数と自動形式との間の新しい関係が確立され、モック・トーティエ級数とマース波動関数の例が統一的に扱えるようになった。