[論文レビュー] Renormalization group analysis of multi-band many-electron systems at half-filling

Yohei Kashima|arXiv (Cornell University)|May 4, 2014

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限次元のグラスマン積分とマルチスケール統合を用いて、半分満たされた状態および正の温度における多バンド電子系のきめのぎりなレノルマライゼーション群（RG）フレームワークを構築する。正方格子上の半分満たし Hubbard モデル（各プラケット当たりπフラックスを有する）について、無限体積・ゼロ温度極限における解析的自由エネルギー密度の存在を証明する。ギュリエルミとマストロピエトロのRGアプローチを四バンド形式に拡張し、収束を保証するためのスケール依存推定を確立する。

ABSTRACT

Renormalization group analysis for multi-band many-electron systems at half-filling at positive temperature is presented. The analysis includes the Matsubara ultra-violet integration and the infrared integration around the zero set of the dispersion relation. The multi-scale integration schemes are implemented in a finite-dimensional Grassmann algebra indexed by discrete position-time variables. In order that the multi-scale integrations are justified inductively, various scale-dependent estimates on Grassmann polynomials are established. We apply these theories in practice to prove that for the half-filled Hubbard model with nearest-neighbor hopping on a square lattice the infinite-volume, zero-temperature limit of the free energy density exists as an analytic function of the coupling constant in a neighborhood of the origin if the system contains the magnetic flux pi (mod 2 pi) per plaquette and 0 (mod 2 pi) through the large circles around the periodic lattice. Combined with Lieb's result on the flux phase problem ([Lieb, E. H., Phys. Rev. Lett. 73 (1994), 2158]), this theorem implies that the minimum free energy density of the flux phase problem converges to an analytic function of the coupling constant in the infinite-volume, zero-temperature limit. The proof of the theorem is based on a four-band formulation of the model Hamiltonian and an extension of Giuliani-Mastropietro's renormalization designed for the half-filled Hubbard model on the honeycomb lattice ([Giuliani, A. and V. Mastropietro, Commun. Math. Phys. 293 (2010), 301-346]).

研究の動機と目的

• 半分満たし状態および正の温度における多バンド多電子系の体系的レノルマライゼーション群フレームワークの構築。
• 有限次元のグラスマン代数における多スケール統合を帰納的に正当化するための、グラスマン多項式に対するスケール依存推定の確立。
• 理論を正方格子上の半分満たし Hubbard モデル（各プラケット当たりπフラックス）に適用。
• 無限体積・ゼロ温度極限における自由エネルギー密度の解析的性質の存在を証明。
• ギュリエルミ＝マストロピエトロのRG手法をヘキサゴナル格子から正方格子に、四バンド形式を介して拡張。

提案手法

• 離散的な時空変数でインデックス付けされた有限次元のグラスマン代数において多バンドハミルトニアンを定式化。
• カットオフ関数を用いたマツバラ超紫外・超赤外積分を用いて、全共分散を分解。
• グラスマン多項式に対するスケール依存ノルムおよびセミノルムを用いた一般化されたマルチスケール統合スキームを適用。
• Hubbard モデルにπフラックスを有するプラケットを扱うために四バンド形式を用い、フェルミ面構造の制御を可能にする。
• 収束を保証するための、グラスマン多項式のカーネルに対するL1推定とゲヴレークラスの境界を確立。
• 切断されたグラスマン積分表現と対称性の考察を用いて、時間連続的かつ無限体積極限を実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方格子上の半分満たし Hubbard モデルについて、無限体積・ゼロ温度極限における自由エネルギー密度の極限が原点近傍で解析的関数として存在することを示せるか？
• RQ2 有限次元のグラスマン代数において、半分満たし状態の多バンド系に対して、多スケール統合を帰納的に正当化するにはどうすればよいか？
• RQ3 各プラケット当たりπフラックスが、ゼロ温度極限における自由エネルギー密度の解析的性質を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 ギュリエルミ＝マストロピエトロのヘキサゴナル格子用RG手法を、四バンド形式を介して正方格子に拡張できるか？
• RQ5 無限体積およびゼロ温度極限における多スケール統合の収束を制御するために必要なスケール依存推定は何か？

主な発見

• πフラックスを有するプラケット当たりの半分満たし Hubbard モデルについて、無限体積・ゼロ温度極限における自由エネルギー密度の極限は、結合定数の原点近傍で解析的関数として存在する。
• Hubbard モデルのハミルトニアンの四バンド形式とグラスマン空間におけるきめのぎりな多スケール統合を用いて、自由エネルギー密度の解析的性質が確立される。
• グラスマン多項式に対するスケール依存推定を通じて、無限体積・ゼロ温度極限における解析的関数の一様収束が保証される。
• 証明は、ギュリエルミとマストロピエトロのRGアプローチをヘキサゴナル格子から正方格子に拡張することに依拠しており、マツバラ超紫外および超赤外積分を統合している。
• このフレームワークは、温度依存性をうまく制御でき、ゼロ温度まで解析的性質を保つことができ、定義域は逆温度に対して指数的に縮小するにとどまる。
• この結果とリーブのフラックス位相定理を組み合わせると、フラックス位相問題の最小自由エネルギー密度が、無限体積・ゼロ温度極限において解析的関数に収束することが示唆される。