[論文レビュー] Renormalization group equations and geometric flows

Ioannis Bakas|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元スカラー模型のボリュームおよび境界の再正則化群（RG）方程式がそれぞれリッチ流れと平均曲率流れを実現することを示すことにより、量子場理論と幾何学的流れの直接的な関係を確立する。主な結果は、これらのRG方程式がフラックスを含む一般化を許容する、結合された放物型偏微分方程式系を形成することであり、数学的物理における主要な幾何学的流れの物理的実現を提供する。

ABSTRACT

The quantum field theory of two-dimensional sigma models with bulk and boundary couplings provides a natural framework to realize and unite different species of geometric flows that are of current interest in mathematics. In particular, the bulk renormalization group equation gives rise to the Ricci flow of target space metrics, to lowest order in perturbation theory, whereas the boundary renormalization group equation gives rise to the mean curvature flow for embedded branes. Together they form a coupled system of parabolic non-linear second order differential equations that can be further generalized to include non-trivial fluxes. Some closely related higher order curvature flows, such as the Calabi and Willmore flows associated to quadratic curvature functionals, are also briefly discussed as they arise in physics and mathematics. However, there is no known interpretation for them, as yet, in the context of quantum field theory.

研究の動機と目的

• 幾何学的流れ（リッチ流れや平均曲率流れなど）を量子場理論の枠組みで統一すること。
• 2次元スカラー模型における再正則化群方程式が幾何学的発展方程式をどのように導くかを調査すること。
• カルビィ流やウィルモア流といった高次の曲率流れが、量子場理論で実現可能かどうかを検討すること。
• フラックスが標準的な幾何学的流れを超えたRG方程式の一般化に果たす役割を検討すること。
• 外在的曲率流れを量子場理論と結びつける際の未解決問題を特定すること。

提案手法

• 摂動的量子場理論を用いて、2次元ディリクレス・スカラー模型のボリュームおよび境界のベータ関数を導出する。
• 1ループのボリューム・ベータ関数がリッチ流れ ∂tGμν = −Rμν に一致することを示す。
• 1ループの境界・ベータ関数が平均曲率流れ ∂tX = −H に一致することを実証する。
• フラックスが非自明な場合を含めて、結合系を一般化し、幾何学的流れの枠組みを拡張する。
• カルビィ流やウィルモア流のような高次の曲率流れを、量子場理論実現の可能性として分析する。
• 剛体ストリングをモデル化するための外在的曲率項を含むナンブ・ゴトウ作用素を用い、そのRG挙動を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元スカラー模型のボリューム再正則化群方程式としてリッチ流れが導けるか？
• RQ2 2次元スカラー模型の境界再正則化群方程式が平均曲率流れを導くか？
• RQ3 ボリュームおよび境界のRG方程式の結合系を、非自明なフラックスを含む形に一般化可能か？
• RQ4 カルビィ流やウィルモア流といった高次の曲率流れが、量子場理論的解釈を受けるか？
• RQ5 なぜウィルモア流は現在のところ、標準的なスカラー模型の再正則化群方程式として実現できないのか？

主な発見

• 2次元スカラー模型の1ループボリューム・ベータ関数はリッチ流れ ∂tGμν = −Rμν を与え、この幾何学的流れの直接的な物理的実現を確立する。
• 1ループ境界・ベータ関数は平均曲率流れに対応し、標的空間内でのブレーンの発展を記述する。
• ボリュームおよび境界のRG方程式の結合系は、放物型で非線形かつ2階の偏微分方程式系を形成し、フラックスを含む一般化が可能である。
• 2次曲率関数への関連するカルビィ流は、スカラー模型の枠組みと関係があることが示されたが、まだベータ関数として実現されていない。
• 2次外在的曲率関数から導かれるウィルモア流は、現在のところ標準的な量子場理論における再正則化群方程式として解釈できない。
• ウィルモア流やカルビィ流のような高次の曲率流れは、現在のところ量子場理論と結びついておらず、分野における未解決問題の一つである。