[論文レビュー] Renormalization group flows and quantum phase transitions: fidelity versus entanglement

Huan-Qiang Zhou|ArXiv.org|Apr 23, 2007

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、量子スピン鎖における量子相転移（QPT）および renormalization group（RG）フローの探査に、忠実度と量子もつれを比較する。忠実度に基づくスケーリングパラメータが、RGフローに沿って安定および不安定な固定点を的確に特定できるのに対し、von Neumann もつれエントロピーおよび縮約密度行列固有値の主要化関係は、情報損失のため、特に非局所的秩序や双対性対称性を示す系ではしばしば失敗することが示される。

ABSTRACT

We compare the roles of fidelity and entanglement in characterizing renormalization group flows and quantum phase transitions. It turns out that the scaling parameter extracted from fidelity for different ground states succeeds to capture nontrivial information including stable and unstable fixed points, whereas the von Neumann entropy as a bipartite entanglement measure (or equivalently, majorization relations satisfied by the spectra of the reduced density matrix along renormalization group flows) often fails, as far as the intrinsic irreversibility-information loss along renormalization group flows-is concerned. We also clarify an intimate connection between the von Neumman entropy, majorization relations, and fidelity. The relevance to Zamolodchikov's c theorem is indicated.

研究の動機と目的

• 量子相転移（QPT）および renormalization group（RG）フローの特徴づけにおいて、忠実度ともつれ測度の有効性を比較すること。
• von Neumann エントロピーなどのもつれベースの測度が、なぜRGフローにおける安定および不安定な固定点を検出できないのかを調査すること。
• RGフローの文脈において、忠実度、von Neumann エントロピー、および主要化関係の関係を明確にすること。
• Zamolodchikovのc-定理が臨界点における conformally invariant システムに与える関連性を検討すること。
• 忠実度がもつれ測度が失敗する場所でも、非自明なRGフロー構造（例：双対性対称性）を捉えることができることを示すこと。

提案手法

• 制御パラメータを変化させた量子スピン鎖の基底状態を行列積状態（MPS）表現で用いる。
• 転送行列法を用いて、基底状態間の忠実度 $ F(\lambda, \lambda') = |\psi(\lambda') \langle \psi(\lambda) | $ を計算する。
• 漸近的挙動 $ F \sim d^L $ からスケーリングパラメータ $ d(\lambda, \lambda') $ を抽出し、$ \ln d = \lim_{L\to\infty} \ln F / L $ で定義する。
• 部分系のもつれ測度として、von Neumann エントロピー $ E(\lambda) = -\mathrm{Tr}(\rho_A \ln \rho_A) $ を分析する。
• RGフローに沿って、縮約密度行列 $ \rho_A $ の固有値の主要化関係を評価する。
• 情報保持度を評価するために、$ \rho_A $ の固有値から導かれる修正された忠実度ベースの測度 $ d_E $ とスケーリングパラメータ $ d $ を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もつれ測度が失敗する場合でも、忠実度ベースのスケーリングパラメータ $ d(\lambda, \lambda') $ は、RGフローにおける安定および不安定な固定点を検出できるか？
• RQ2 von Neumann もつれエントロピーおよび縮約密度行列固有値の主要化関係が、なぜ双対性対称性や不安定な固定点を検出できないのか？
• RQ3 RGフローにおいて、忠実度、von Neumann エントロピー、および主要化関係の数学的・物理的関係は何か？
• RQ4 もつれ測度の失敗は、RG変換における本質的不可逆性および情報損失とどのように関係しているか？
• RQ5 忠実度アプローチは、臨界点における conformally invariant QPT において、Zamolodchikovのc-定理とどの程度整合性を示すか？

主な発見

• 忠実度ベースのスケーリングパラメータ $ d(\lambda, \lambda') $ は、RGフローに沿って安定固定点（例：$ \lambda = 0 $、$ \lambda = \infty $）および不安定固定点（例：$ \lambda = 1 $）を的確に特定する。
• 三体相互作用を有するスピン1/2鎖では、$ d(g, g') $ が $ g = 0 $ および $ g = \infty $ の2つの転移点を正しく特定するが、von Neumann エントロピー $ E(g<0) = \ln 2 $ は $ g = -1 $ の安定固定点を検出できない。
• 二体相互作用を有するスピン1鎖では、$ d(g, g') $ と $ d_E(g, g') $ が $ g \leftrightarrow -g $ に対して不変であり、双対性を反映するが、もつれエントロピー $ E(g) = \ln 2 $ は定数であり、固定点を区別できない。
• $ \rho_A $ の固有値から導かれる測度 $ d_E(g, g') $ は、$ g > 0 $、$ g' < 0 $ のときRGフローに沿って正しく減少し、主要化と整合的である。しかし、$ g, g' < 0 $ のとき、$ d_E = 1 $ と自明なままとなり、$ g = -1 $ を安定固定点として検出できない。
• von Neumann エントロピー $ E(\lambda) $ はRGフローに沿って単調減少するため、安定固定点は検出可能だが、不安定固定点は検出できない。これは、フロー構造の完全な記述ができないという限界を示している。
• 本稿では、もつれ測度が情報損失を引き起こす非加法的量子情報性のため、忠実度がもつれ測度が失敗する情報を捉えられることを確立している。特に、非局所的秩序や双対性を示す系において顕著である。