[論文レビュー] Renormalization group method and canonical perturbation theory

Yoshiyuki Y. Yamaguchi, Yasusada Nambu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 1999

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、小パラメータの2次までの近似解において、可積分部が作用変数に関して線形であるハミルトニアン系に対して、正規化群（RG）法が、標準的摂動論と同一の近似解を与えることを示している。作用角座標にRG法を適用することで、この文脈において両手法の等価性を確立し、ハミルトニアン力学における摂動法の新たな視点を提供する。

ABSTRACT

Renormalization group method is one of the most powerful tool to obtain approximate solutions to differential equations. We apply the renormalization group method to Hamiltonian systems whose integrable parts linearly depend on action variables. We show that the renormalization group method gives the same approximate solutions as canonical perturbation theory up to the second order of a small parameter with action-angle coordinates.

研究の動機と目的

• 作用変数に関して線形な可積分部を有するハミルトニアン系への正規化群（RG）法の適用可能性を調査すること。
• 精度および解の構造の観点から、RG法と標準的摂動論を比較すること。
• 小パラメータの2次までの近似解において、RG法が標準的摂動論と同一の解を再現するかどうかを特定すること。
• 作用角変数の文脈において、RG法と標準的摂動論の間の形式的関係を確立すること。

提案手法

• 可積分部が作用変数に関して線形であるハミルトニアン系にRG法を適用する。
• 解析は、標準的摂動論で標準的に行われる作用角座標で実施する。
• 小パラメータを導入し、解を2次までの摂動展開で展開する。
• RG法は、摂動展開における発散項（secular terms）を、再正規化手順によって体系的に除去する。
• RG法の解を、標準的摂動論の解と直接比較する。
• 解の等価性を小パラメータの展開の各次数ごとに検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用変数線形可積分部を有するハミルトニアン系において、正規化群法は標準的摂動論と同一の近似解を生成するか？
• RQ2 小パラメータの2次までの範囲で、RG法の解は標準的摂動論の解とどのように比較できるか？
• RQ3 RG法は、ハミルトニアン系の摂動展開における発散項を効果的に取り扱えるか？
• RQ4 作用角座標において、RG法と標準的摂動論の間の形式的関係は何か？

主な発見

• 正規化群法は、小パラメータの2次までの近似解が、標準的摂動論のそれと同一であることを示している。
• この等価性は、可積分部が作用変数に関して線形であるハミルトニアン系に特有のものである。
• RG法は再正規化によって発散項を効果的に除去し、標準的摂動論の構造を模倣している。
• 作用角座標の使用により、両手法の直接比較が可能になった。
• 結果として、RG法がこのクラスの系において、標準的摂動論の代替手段として一貫性と妥当性を有することを確認した。