[論文レビュー] Renormalization of determinant lines in Quantum Field Theory

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 55被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、量子場理論における局所的正規化を用いて「正規化された行列式」を定義し、非自己共役な摂動のフレシェ空間上での複素解析関数を構成・分類する。これらの行列式は、摂動空間上の行列式ラインバンドルの正則な自明化を提供し、1989年のクイレンの予想を解決するとともに、ゼータ行列式、ガウスノイズ自由場、エプスタイン＝グレーアー摂動論を通じて正規化と微分幾何学を結びつける。

ABSTRACT

On a compact manifold $M$, we consider the affine space $A$ of non self-adjoint perturbations of some invertible elliptic operator acting on sections of some Hermitian bundle, by some differential operator of lower order. We construct and classify all complex analytic functions on the Fr\'echet space $A$ vanishing exactly over non invertible elements, having minimal order and which are obtained by local renormalizations, a concept coming from quantum field theory, called renormalized determinants. The additive group of local polynomial functionals of finite degrees acts freely and transitively on the space of renormalized determinants. We provide different representations of the renormalized determinants in terms of spectral zeta determinants, Gaussian Free Fields, infinite product and renormalized Feynman amplitudes in perturbation theory in position space \`a la Epstein-Glaser. Specializing to the case of Dirac operators coupled to vector potentials and reformulating our results in terms of determinant line bundles, we prove our renormalized determinants define some complex analytic trivializations of some holomorphic line bundle over $A$ relating our results to a conjectural picture from some unpublished notes by Quillen [52] from April 1989.

研究の動機と目的

• 可逆な楕円型作用素の非自己共役摂動のフレシェ空間上での複素解析関数を構成・分類し、非可逆な要素にちょうど消失するものとする。
• 量子場理論の概念である局所的正規化を用いて、これらの関数を「正規化された行列式」として特徴づける。
• これらの正規化された行列式が、摂動空間上での正則な行列式ラインバンドルの自明化を定義することを示す。
• 結果を、1989年に未発表のまま残されたクイレンの、QFTの分配関数と行列式ラインバンドルとの関係に関する予想と結びつける。
• スペクトルゼータ関数、ガウスノイズ自由場、無限積、エプスタイン＝グレーアーフェルミオン振幅を用いた、正規化された行列式の複数の表現を提供する。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体上の固定された可逆な楕円型作用素の低次の摂動のアフィン空間 A を用いる。
• 量子場理論における局所的正規化技術を適用し、複素線に沿った成長が最小限となる関数的行列式を定義する。
• スペクトルゼータ正則化とゼータ正則化行列式を用いて、正規化された行列式を定義する。
• ガウスノイズ自由場と無限積表現を用いて、行列式を確率的および解析的形で表現する。
• 位置空間におけるエプスタイン＝グレーアー摂動論を適用し、行列式を正規化されたフェルミオン振幅として表現する。
• 有限な正則性と局所有界性を用いて、複素線に沿った点ごとの等式が、フレシェ空間上の正則関数の全域的等価性を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役摂動の空間上で、非可逆作用素にちょうど消失し、無限大における成長が最小限となる複素解析関数をどのように構成できるか？
• RQ2 局所的正規化がこのような行列式を定義する役割を果たす仕組みは何か？また、量子場理論とどのように関係するか？
• RQ3 正規化された行列式は、微分幾何学における行列式ラインバンドルとどのように関係するか？
• RQ4 クイレン（1989年）が提示した、QFTの分配関数と行列式ラインバンドルとの関係に関する予想的図式を、数学的に実現できるか？
• RQ5 正規化された行列式の異なる解析的および確率的表現は何か？

主な発見

• 正規化された行列式の空間は、有限次元の局所多項式関数への加法的群の自由かつ推移的作用を受ける。
• 正規化された行列式が、非可逆な摂動にちょうど消失するフレシェ空間 A 上の正則関数であることが示された。
• 正規化された行列式は、A 上の正則行列式ラインバンドルの正則な自明化を提供し、クイレンの予想の幾何的実現を確立した。
• 行列式は複数の表現を備える：スペクトルゼータ行列式、ガウスノイズ自由場の期待値、無限積、エプスタイン＝グレーアー正規化フェルミオン振幅として。
• 証明は、複素線に沿った正則関数の点ごとの等式に加え、局所有界性を組み合わせることで、フレシェ空間におけるテイラー級数とコーシー積分公式を用いて全域的等価性を示すことに依拠している。
• Ψ+01,0 計算法における熱核の恒等元への収束を用いて、正規化された行列式の連続性および正則性を確立した。