[論文レビュー] Renormalization of noncommutative Yang-Mills theories: A simple example

Harald Grosse, Thomas Krajewski+1 more|ArXiv.org|Jan 27, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、非可換ヤン・ミルズ理論が、ネストされたおよび非交差する1ループゴースト伝播関数補正から構成される多ループフェルミオン図の明示的計算を通じて、局所的補正項による正則化可能であることを示している。主な結果は、これらの図がベッセル関数に評価されることであり、そのべき乗則的振る舞いが局所的補正項による正則化を可能にする。これは、モデル全体の正則化可能性に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove by explicit calculation that Feynman graphs in noncommutative Yang-Mills theory made of repeated insertions into itself of arbitrarily many one-loop ghost propagator corrections are renormalizable by local counterterms. This provides a strong support for the renormalizability conjecture of that model.

研究の動機と目的

• 非可換ヤン・ミルズ（NCYM）理論の多ループ補正、特にゴースト伝播関数の挿入を伴う場合の正則化可能性を調査すること。
• 非可換時空構造に起因する非平面図における非局所性および潜在的な赤外発散の課題に対処すること。
• 繰り返し1ループゴースト補正を含む特定の多ループ図において、局所的補正項が発散を吸収できるかどうかを検証すること。
• NCYM理論の正則化可能性に関する広範な予想を支持する、明示的な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 非可換ヤン・ミルズ理論における繰り返し1ループゴースト伝播関数挿入からなるフェルミオン図の明示的計算。
• スター積および非可換フーリエ表現を用いて、運動量空間における相互作用頂点および伝播関数を表現すること。
• 非可換構造に自然に現れる修正ベッセル関数 K₀ および K₁ を用いてループ積分を評価すること。
• ベッセル関数のべき乗則的バインドと漸近展開を用いて、発散部および有限部の推定を行うこと。
• 収束性の境界を確立するために、ベッセル関数とべき乗則的減衰を比較するためのロンスキアン法の適用。
• nループ図における赤外発散を避けるために、臨界指数 r < 1/n を選択すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換ヤン・ミルズ理論における繰り返し1ループゴースト伝播関数補正から構成される多ループ補正は、局所的補正項によって正則化可能か？
• RQ2 運動量依存性を持つ位相を導入する非平面図が、非局所性を伴うにもかかわらず、依然として局所的正則化を許容するか？
• RQ3 このような図の振幅は、小運動量（赤外）極限でどのように振る舞い、発散を引き起こすか？
• RQ4 非可換フェルミオン図の評価は、ベッセル関数などの特殊関数に体系的に還元可能か？
• RQ5 NCYM理論における発散の構造は、補正項の局所性要請と整合的か？

主な発見

• ネストされたゴースト補正を伴う n+1 ループ図の発散部は、(−π²g²ℏ)ⁿ⁺¹p²(1−α)ⁿ(3−α)/2 に比例し、べき乗則的発散構造を確認する。
• 振幅の有限部は、運動量依存性を推定するために不可欠な修正ベッセル関数 K₀ および K₁ で表される。
• n+1 ループ図の補正項は局所的である。これは、その運動量依存性がゴースト作用素の運動項と一致するためである。
• nループ図における赤外発散を避けるために、臨界指数 r は 0 < r < 1/n を満たすように選択されるべきである。
• ベッセル関数の漸近的振る舞いにより、べき乗則的バインドが得られ、正則化手順の収束性を証明するために不可欠である。
• この証明により、ネストおよび非交差する1ループゴースト補正からなる図のクラスが、局所的補正項によって正則化可能であることが示され、NCYM理論の正則化可能性に関する広範な予想を支持する。