[論文レビュー] Renormalized Energy and Peach-Köhler Forces for Screw Dislocations with Antiplane Shear

Timothy Blass, Marco Morandotti|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Elasticity and Material Modeling参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、CermelliとGurtinの連続体モデルを用いて、アンチプレーンシアの下でのスクリューディスロケーションの変分的枠組みを構築し、正則化エネルギーと変分法を用いてピーチ＝コールラー力の明示的計算を導出する。主な貢献は、ディスロケーションの運動を駆動する厳密な力の表現であり、特異なひずみ場におけるエネルギー最小化および形状微分解析によって検証されている。

ABSTRACT

We present a variational framework for studying screw dislocations subject to antiplane shear. Using a classical model developed by Cermelli and Gurtin, methods of Calculus of Variations are exploited to prove existence of solutions, and to derive a useful expression of the Peach-Köhler forces acting on a system of dislocation. This provides a setting for studying the dynamics of the dislocations, which is done in a forthcoming work.

研究の動機と目的

• 弾性体におけるスクリューディスロケーションの研究のための変分的枠組みを確立すること。
• 特異的ディスロケーションを伴うひずみ場に対して解の存在を証明すること。
• エネルギーに基づく手法を用いて、ディスロケーションに作用するピーチ＝コールラー力の明確な表現を導出すること。
• 共同研究[4]で検討されたディスロケーションの運動の数学的基盤を提供すること。
• 特異的ひずみ場とエネルギー密度汎関数を用いて、ディスロケーション系に関連する正則化エネルギーを特徴付けること。

提案手法

• 3次元弾性問題を2次元設定に還元するため、2次元断面Ω ⊂ ℝ²におけるアンチプレーンシア変形を採用する。
• ひずみ場h ∈ L²(Ω;ℝ²)が、分布的意味でcurl h = ∑ bᵢ δ_zᵢおよびdiv(Lh) = 0を満たすことを用いる。
• エネルギー汎関数J(h) = ∫_Ω W(h) dxを定義し、W(h) = ½ h·Lhとする。ここでLはラメ定数を用いた弾性テンソルである。
• 変分法および形状微分技術を用いて、エネルギーがディスロケーション位置に関して微分可能であることを示す。
• ディスロケーション点の周囲にε-球を用いた正則化を行い、一致漸近法を用いて有限な寄与を抽出する。
• 境界積分および発散なしの恒等式を用いて、正則化エネルギーに関する負の勾配としてピーチ＝コールラー力を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的ひずみ場を伴うスクリューディスロケーション系に対して、正則化エネルギーを厳密に定義することは可能か？
• RQ2 アンチプレーンシア設定下で、各ディスロケーションに作用するピーチ＝コールラー力の明確な表現は何か？
• RQ3 ひずみ場が特異的である場合、ディスロケーション位置に関するエネルギー変化はどのように計算できるか？
• RQ4 弾性テンソルLは、力の釣り合いとエネルギー最小化を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 変分的枠組みは、ディスロケーション運動方程式の導出をどのように支援するか？

主な発見

• アンチプレーンシアを受けるスクリューディスロケーション系に対して、特異的ひずみ場があるにもかかわらず、正則化エネルギーは適切に定義され、有限である。
• ℓ番目のディスロケーションに作用するピーチ＝コールラー力は、正則化エネルギーの負の勾配として、境界積分で表される：D_zₗU(v) = -∫_{∂E_ε,ℓ} {W(h₀)I - h₀⊗(Lh₀)}n · v ds。
• 形状微分および漸近解析を用いて導出され、ε→0の極限において特異的寄与が相殺されることを示している。
• 導出結果は、力が局所的ひずみ場h₀および弾性テンソルLに依存しており、自己相互作用およびディスロケーション間の相互作用の寄与を含むことを示している。
• エネルギー最小化と力の計算を結びつけることで、後続の研究[4]で用いられるディスロケーションの運動の厳密な基盤を提供している。
• 物理的直観と整合しており、ディスロケーションはエネルギー勾配から導かれるピーチ＝コールラー力の作用を受けて運動することが確認されている。