[論文レビュー] Reparametrization Invariance and the Schrödinger Equation

V. I. Tkach, A. Pashnev+1 more|ArXiv.org|Dec 30, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、再パrametrization不変でない系から再パラメータ化不変性を制約によって強制することで、時刻に依存するシュレーディンガー方程式を構成する2段階的手順を導入する。この手法により、時間に依存するシュレーディンガー方程式が第一級の制約として得られ、世界線スーパicensityと結合した$n=2$ supersymmetric quantum mechanicsへと拡張され、平方根作用の形式が得られる。

ABSTRACT

In the present work we consider a time-dependent Schrödinger equation for systems invariant under the reparametrization of time. We develop the two-stage procedure of construction such systems from a given initial ones, which is not invariant under the time reparametrization. One of the first-class constraints of the systems in such description becomes the time-dependent Schrödinger equation. The procedure is applicable in the supersymmetric theories as well. The $n=2$ supersymmetric quantum mechanics is coupled to world-line supergravity, and the local supersymmetric action is constructed leading to the square root representation of the time-dependent Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• 再パラメータ化不変性を用いて、非不変系から時間に依存するシュレーディンガー方程式を体系的に導出する手法を開発すること。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式が、制約付きハミルトニアン形式において第一級の制約として自然に現れることを示すこと。
• 形式的枠組みを、世界線スーパicensityと結合した$n=2$超対称的量子力学へと拡張すること。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式の平方根表現を導く局所的超対称作用を構築すること。

提案手法

• 再パラメータ化不変でない系を再パラメータ化不変な系に変換するための2段階的手順を適用する。
• 新しい時間変数とそれに伴うゲージ対称性を導入し、任意の時間再パラメータ化に対して不変性を強制する。
• 制約を含むハミルトニアン形式を導出し、そのうちの1つの第一級制約が時間に依存するシュレーディンガー方程式に対応する。
• $n=2$量子力学を世界線スーパicensityと結合することで超対称的拡張を構築する。
• 局所的超対称性と再パラメータ化不変性を保証するため、動力学を平方根作用で記述する。
• 得られた運動方程式が物理的領域で時間に依存するシュレーディンガー方程式を再現することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再パラメータ化不変でない系から、どのように時間に依存するシュレーディンガー方程式を導出できるか？
• RQ2 再パラメータ化不変系の制約構造において、時間に依存するシュレーディンガー方程式は果たす役割は何か？
• RQ3 局所的超対称性を保ちつつ、形式的枠組みを超対称的量子系へ一般化できるか？
• RQ4 世界線スーパicensityの文脈において、平方根作用の形式は標準的シュレーディンガー方程式とどのように関係するか？
• RQ5 ハミルトニアン形式において、時間に依存するシュレーディンガー方程式が第一級の制約として現れる物理的解釈は何か？

主な発見

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式は、再パラメータ化不変系のハミルトニアン形式において、自然に第一級の制約として現れる。
• 2段階の構成手順により、非不変系が再パラメータ化不変系にうまく変換され、シュレーディンガー方程式が重要な制約として果たす。
• この手法は、局所的超対称性を保ちつつ、$n=2$超対称的量子力学へと拡張可能である。
• 平方根形式の局所的超対称作用が構築され、物理的領域で時間に依存するシュレーディンガー方程式が得られる。
• 形式的枠組みは、再パラメータ化不変性が時間に依存するシュレーディンガー方程式に幾何的かつ動的な起源を与えることを示している。
• 時間発展とゲージ対称性が統合されており、量子的時間発展の幾何的基盤を示唆している。