[論文レビュー] Repartition of the quasi-stationary distribution and first exit point density for a double-well potential

Dorian Le Peutrec, Boris Nectoux|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、温度 $ h \to 0^+ $ のとき、縮退した段差を持つ二重井戸ポテンシャル内の過減衰ランジュバン過程の準定常分布および最初の出口点密度を分析する。一般に、メタ安定性のため、準定常分布は単一の井戸に集中するが、対称性がある場合には両井戸に分配され、そのトンネル効果は半古典的解析手法を用いた固有関数および境界フラックスの精密な漸近展開によって確認される。

ABSTRACT

Let f : R d $\ ightarrow$ R be a smooth function and (Xt) t$\\ge$0 be the stochastic process solution to the overdamped Langevin dynamics dXt = ----f (Xt)dt + $\\sqrt$ h dBt. Let $\\Omega$ $\\subset$ R d be a smooth bounded domain and assume that f | $\\Omega$ is a double-well potential with degenerate barriers. In this work, we study in the small temperature regime, i.e. when h $\ ightarrow$ 0 + , the asymptotic repartition of the quasi-stationary distribution of (Xt) t$\\ge$0 in $\\Omega$ within the two wells of f | $\\Omega$. We show that this distribution generically concentrates in precisely one well of f | $\\Omega$ when h $\ ightarrow$ 0 + but can nevertheless concentrate in both wells when f | $\\Omega$ admits sufficient symmetries. This phenomenon corresponds to the so-called tunneling effect in semiclassical analysis. We also investigate in this setting the asymptotic behaviour when h $\ ightarrow$ 0 + of the first exit point distribution from $\\Omega$ of (Xt) t$\\ge$0 when X0 is distributed according to the quasi-stationary distribution. 1 Setting and results 1.1 Quasi-stationary distribution and purpose of this work Let (X t) t$\\ge$0 be the stochastic process solution to the overdamped Langevin dynamics in R d : dX t = ----f (X t)dt + $\\sqrt$ h dB t , (1) where f : R d $\ ightarrow$ R is the potential (chosen C $\\infty$ in all this work), h > 0 is the temperature and (B t) t$\\ge$0 is a standard d-dimensional Brownian motion. Let $\\Omega$ be a C $\\infty$ bounded open and connected subset of R d and introduce $\ au$ $\\Omega$ = inf{t $\\ge$ 0 | X t / $\\in$ $\\Omega$} the first exit time from $\\Omega$. A quasi-stationary distribution for the process (1) on $\\Omega$ is a probability measure $\\mu$ h on $\\Omega$ such that, when X 0 $\\sim$ $\\mu$ h , it holds for any time t > 0 and any Borel set A $\\subset$ $\\Omega$, P(X t $\\in$ A | t < $\ au$ $\\Omega$) = $\\mu$ h (A).

研究の動機と目的

• 温度 $ h \to 0^+ $ のとき、二重井戸ポテンシャル内の二つの井戸における準定常測度の漸近的分布を理解すること。
• 初期分布が準定常分布である場合に、有界領域 $ \Omega $ からの最初の出口点分布を特徴づけること。
• 準定常分布が一か所の井戸に集中するか、両井戸に分散するかを特定する条件、特に対称的またはほぼ対称的なポテンシャルにおける条件を同定すること。
• 生成子の主固有関数およびその境界における法線微分の鋭い漸近展開を、半古典的およびウィッテンラプラシアンの技法を用いて確立すること。
• 二重モード集中現象が、量子的および確率的メタ安定性におけるトンネル効果とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 有界領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^d $ 上の滑らかな二重井戸ポテンシャル $ f $ を持つ過減衰ランジュバンスデ $ dX_t = -\nabla f(X_t)dt + \sqrt{h}\, dB_t $ を用いる。
• 生成子 $ L_{f,h}^{(0)} = -\frac{h}{2}\Delta + \nabla f \cdot \nabla $ のディリクレ実現の基底状態として、準定常分布 $ \nu_h $ を正規化された状態として特徴づける。
• 低エネルギー固有値と固有関数に注目するため、ウィッテンラプラシアン $ \Delta_{f,h}^{(0)} = -h^2\Delta + |\nabla f|^2 - h\Delta f $ に対する半古典的解析を適用する。
• ラプラスの方法および調和振動子近似を用いて、局所的極小点および境界の臨界点付近における固有関数の漸近展開を実行する。
• 境界層関数 $ \psi_{i_j} $ との $ L^2 $ 内積に対する精密な推定値を導出し、フラックス寄与を捉える。
• 等長性の議論と対称性の仮定を用いて、$ f $ がほぼ偶関数である場合、準定常分布が両井戸に均等に分配され、展開式で $ \mu(h) = 0 $ となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 縮退した段差を持つ二重井戸ポテンシャルにおいて、準定常分布が一か所の井戸に集中するか、両井戸に分散するかの条件は何か？
• RQ2 初期分布が準定常測度であるとき、$ h \to 0^+ $ のとき最初の出口点分布はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 （例：井戸を入れ替える等長写像の存在など）対称性が、準定常分布の二重モード集中に果たす役割は何か？
• RQ4 主固有関数およびその境界における法線微分の漸近的性質は、ポテンシャルおよび領域の幾何構造にどのように依存するか？
• RQ5 ポテンシャルが対称的またはほぼ対称的である場合、トンネル効果は準定常分布にどのように現れるか？

主な発見

• 温度 $ h \to 0^+ $ のとき、準定常分布 $ \nu_h $ は一般に単一の井戸に集中する。各井戸における確率質量は $ h^{-1} $ に指数的に減少するが、対称性があるとそのような減少が防がれる。
• ポテンシャル $ f|_{\overline{\Omega}} $ が等長写像 $ \Phi $ に関して（ほぼ）対称である場合、準定常分布は両井戸に均等に分配され、漸近展開で $ \mu(h) = 0 $ となる。
• 最初の出口点密度は、境界 $ \partial\Omega $ 上でポテンシャルが最小化される点 $ z_{p,\ell} $ の近傍に集中する。漸近的フラックスは $ h^{\frac{d-6}{4}} e^{-H'/h} $ に比例し、$ H' = \min_{\partial\Omega}f + H $ である。
• 境界 $ \Sigma \subset \partial\Omega $ 上の固有関数の法線微分 $ \partial_n u_h $ に対して、$ \Sigma $ が臨界境界点を避ける場合、$ \int_\Sigma F \partial_n u_h e^{-2f/h} = \mathcal{O}(e^{-H'/h}) $ が成り立ち、$ \Sigma $ がそのような点を含む場合、$ z_{p,\ell} $ でのフラックスと一致する。
• 対称性の下で、固有関数 $ u_h $ は $ \int_{\Omega} u_h e^{-2f/h} = (1 + \mathcal{O}(e^{-c/h})) \sqrt{2} \int_{\mathcal{O}_i} \widetilde{u}_i e^{-2f/h} $ を満たし、二重モード集中を確認する。
• 固有関数展開の主要項の係数には $ \left( \det \text{Hess}\, f(x_i) \right)^{-1/4} $ が含まれており、極小点における曲率の影響が明確に現れる。