[論文レビュー] Repdigits as products of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers

S. G. Rayaguru, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、繰り返し同じ桁を持つ数（repetitive digit number、repetidigit）が、バランス数またはルーカスバランス数として現れるか、あるいは連続するそれらの数の積として現れるかどうかを調査する。モジュラー算術および可除性列の性質を用いて、1と6を除くバランス数のうち、6以外の桁で繰り返される数（repetidigit）は存在しないことが証明されている。同様に、連続するバランス数またはルーカスバランス数の積が2桁以上のrepetidigitになることも証明されている。唯一のルーカスバランスrepetidigitはC₁=3とC₃=99である。

ABSTRACT

Repdigits are natural numbers formed by the repetition of a single digit. In this paper, we explore the presence of repdigits in the product of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers.

研究の動機と目的

• repetidigit（繰り返し同じ桁を持つ数）がバランス数またはルーカスバランス数の列に現れるかどうかを特定すること。
• 連続するバランス数またはルーカスバランス数の積がrepetidigitを形成できるかどうかを調査すること。
• 特に、すべての桁が6であるrepetidigitがこれらの列に存在するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• モジュラー算術および可除性の性質を適用して、既知の小さなケースを除き、このようなrepetidigitが存在しないことを除外すること。

提案手法

• 小さな整数（3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 20）を法としてバランス数およびルーカスバランス数の列を分析することで、周期的な剰余パターンを導出する。
• バランス数列の強い可除性性質（Bₘ ∣ Bₙ ならば m ∣ n）を用いて、repetidigit形式を仮定した場合に矛盾を導く。
• Bₙ = a·(10ᵐ−1)/9 および Cₙ = a·(10ᵐ−1)/9 というディオファントス方程式を、さまざまな整数を法として削減し、可能な桁の値aを除外する。
• BₙBₙ₊₁およびCₙCₙ₊₁⋯Cₙ₊ₖを5, 7, 8を法として分析し、それらが任意のrepetidigitの剰余と一致しないことを示す。
• 各桁a ∈ {1, 2, ..., 9}に対してケース解析を適用し、両方の列におけるrepetidigit形式を体系的に除外する。
• ルーカスバランス数が常に奇数であることを利用し、aの可能性を{1, 3, 5, 7, 9}に制限し、さらにモジュラー制約を用いてケースを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランス数列に1と6を除くrepetidigit（他の桁が繰り返される数）は存在するか？
• RQ2 2つ以上の連続するバランス数の積が、2桁以上のrepetidigitを形成できるか？
• RQ3 C₁ = 3とC₃ = 99を除き、ルーカスバランス数のうちrepetidigitであるものは存在するか？
• RQ4 連続するルーカスバランス数の積が、1桁より大きいrepetidigitを形成できるか？
• RQ5 バランス数がrepetunit（例：66, 666など）の6倍であることは可能か？

主な発見

• repetidigitであるバランス数はB₁ = 1とB₂ = 6のみである。6以外の桁で繰り返されるバランス数は存在しない。
• 任意の2つの連続するバランス数の積は、2桁以上のrepetidigitにならないが、B₁B₂ = 6は1桁のrepetidigitである。
• repetidigitであるルーカスバランス数はC₁ = 3とC₃ = 99のみである。それより大きなルーカスバランス数はrepetidigitではない。
• 連続するルーカスバランス数の任意の積は、1桁より大きいrepetidigitにならない。
• バランス数がすべての桁が6であるrepetidigitであるためには、n ≡ 14 (mod 96) かつ m ≡ 1 (mod 6) を満たす必要があるが、B₂ = 6を除き、そのような数はまだ知られていない。
• 本論文では、バランス数がrepetunit（例：66, 666など）の6倍であるかどうかの問題は未解決のまま残っているが、最初の200項においてそのような数は見つかっていない。