[論文レビュー] Repeated patterns in proper colourings

David Conlon, Mykhaylo Tyomkyn|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全グラフ $K_n$ の適切な辺彩色において、固定されたグラフ $H$ の $k$ 個の頂点素性で色同型なコピー（繰り返し）を避けるために必要な最小色数を調査する。組合せ的・確率的・代数的手法を用い、Bukh のランダム代数的手法の亜種を含むことで、$f_k(n,H)$ に対するタイトな境界を確立する。木 $T$ について、$m$ 条の辺を持つとき、$k \geq 3$ ならば $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$ が成り立ち、非二部グラフ $H$ については $f_2(n,H) \leq n+1$、二部グラフ $H$ にサイクルを含む場合 $f_k(n,H) = O(n)$（ある $k$ に対して）となる。主な貢献は、$H$ の構造に基づく $f_k(n,H)$ の三段階的分類であり、特に、森、サイクルを含む二部グラフ、非二部グラフを区別する。

ABSTRACT

For a fixed graph $H$, what is the smallest number of colours $C$ such that there is a proper edge-colouring of the complete graph $K_n$ with $C$ colours containing no two vertex-disjoint colour-isomorphic copies, or repeats, of $H$? We study this function and its generalisation to more than two copies using a variety of combinatorial, probabilistic and algebraic techniques. For example, we show that for any tree $T$ there exists a constant $c$ such that any proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n^2$ colours contains two repeats of $T$, while there are colourings with at most $c' n^{3/2}$ colours for some absolute constant $c'$ containing no three repeats of any tree with at least two edges. We also show that for any graph $H$ containing a cycle there exist $k$ and $c$ such that there is a proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n$ colours containing no $k$ repeats of $H$, while, for a tree $T$ with $m$ edges, a colouring with $o(n^{(m+1)/m})$ colours contains $ω(1)$ repeats of $T$.

研究の動機と目的

• 固定グラフ $H$ の $k$ 個の頂点素性で色同型なコピーを含まない $K_n$ の適切な辺彩色における最小色数 $C$（$f_k(n,H)$ として定義）を特定すること。
• $f_k(n,H)$ の増加率を $H$ の構造に基づいて分類すること。特に、森、サイクルを含む二部グラフ、非二部グラフを区別すること。
• 特にルビーレインパターンが中心となる適切な辺彩色において、繰り返し色同型部分グラフの設定に拡張された既知の極値的結果を導出すること。
• 特に偶数サイクルや完全グラフの $1$-分割について、$f_k(n,H)$ の極値的挙動に関する未解決問題を解消すること。
• 一般化されたラマセー理論やハイパーグラフ一般化との関係を探索し、特に構造的な彩色における繰り返しパターンを避ける文脈で考察すること。

提案手法

• $f_k(n,H)$ を、$k$ 個の頂点素性で色同型な $H$ のコピーを含まない $K_n$ の適切な辺彩色における最小色数として定義すること。
• ピーコンホールドの原理と極値的グラフ理論を用いて、特に $H$ が森または高い辺密度を持つ場合の下界を導出すること。
• Bukh のランダム代数的手法の亜種を用いて、任意のサイクルを含むグラフ $H$ に対して、ある $k$ が存在し $f_k(n,H) = O(n)$ であることを示すこと。
• $1$-ファクタリゼーションやパス系などの組合せ的構成を用いて、木 $T$ についての $f_k(n,T)$ の上界を確立すること。
• Gustavsson の定理やトゥーラン型の境界を応用して、$f_k(n,H)$ の漸近的増加を分析すること。
• 特に $e(H) \geq 2|H| - 2$ または $e(H) \geq \frac{3}{2}|H| - 3$ のような条件を用いて、$H$ の辺数と頂点数の関係を分析し、漸近的閾値を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の適切な辺彩色が $C$ 色で $K_n$ を彩色するとき、固定グラフ $H$ の $k$ 個の頂点素性で色同型なコピーを少なくとも $k$ 個含む最小の色数 $C$ は何か？（$f_k(n,H)$ として定義）
• RQ2 $f_k(n,H)$ の増加率は $H$ の構造にどのように依存するか？特に $H$ が森、サイクルを含む二部グラフ、非二部グラフであるかどうかに依存するか？
• RQ3 境界 $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$ を $O(n)$ に改善できるか？また、$f_2(n,C_6)$ の正しい指数は何か？
• RQ4 $m$ 条の辺を持つ木 $T$ について、$k \geq 3$ のとき $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$ が成り立つか？また、特定の $k$ に対してはより鋭く抑えられるか？
• RQ5 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$m \to \infty$ のとき、長い偶数サイクル $C_{2m}$ について $f_2(n,H) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$ が成り立つか？

主な発見

• 任意の $m$ 条の辺を持つ木 $T$ と $k \geq 3$ に対して、$f_k(n,T) = \Omega(n^{(m+1)/m})$ であり、ある $k'$ が存在して $f_{k'}(n,T) = O(n^{(m+1)/m})$ となる。したがって $k \geq 3$ のとき $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$ が成り立つ。
• 少なくとも2本の辺を持つ任意の木 $T$ について、$f_3(n,T) = \Theta(n^{3/2})$ であり、$k=3$ で鋭い閾値が得られることを示している。
• 任意のサイクルを含むグラフ $H$ に対して、ある $k$ が存在し $f_k(n,H) = O(n)$ である。これは、サイクルが存在する場合、繰り返しコピーを線形色数で回避できることを示している。
• 非二部グラフ $H$ については $f_2(n,H) \leq n+1$、$n$ が奇数のとき $f_2(n,H) = n$ であり、小さな色数では2つのコピーが避けられないことを示している。
• 辺数 $e(H) \geq 2|H| - 2$ を満たす二部グラフ $H$ については $f_2(n,H) = \Theta(n)$ であり、このようなグラフは線形色数で回避可能であることを示している。
• 偶数サイクルについては $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$、$f_2(n,C_6)$ については $f_2(n,C_6) = \Theta(n^\alpha)$ と仮定すると $4/3 \leq \alpha \leq 5/3$ が成り立つ。これは非自明な指数を示唆している。