[論文レビュー] Repeated-root constacyclic codes of length 2ℓ m p n∗

Bocong Chen, Hai Q. Dinh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇素数 $l$ と $p$ が異なる条件下で、有限体 $\bF_q$（$p$ を法とする素数のべき）上における長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号の代数的構造を確立する。符号の生成多項式を特徴付け、この長さにおけるすべての線形補完双対（LCD）および自己双対定型循環符号を完全に分類し、これらの符号の完全な代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

For any different odd primes l and p, structure of constacyclic codes of length 2l m p n over a finite field Fq of characteritic p and their duals is established in term of their generator polynomials. Among other results, all linear complimentary dual and self-dual constacyclic codes of length 2l m p n over Fq are obtained.

研究の動機と目的

• 有限体 $\bF_q$（奇素数 $p$ のべき）上における長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号の代数的構造を特定すること。
• これらの符号およびその双対符号の生成多項式を特徴付けること。
• 与えられた長さにおける $\bF_q$ 上のすべての線形補完双対（LCD）および自己双対定型循環符号を分類すること。
• 多項式の因数分解および有限環上のイデアル論理を用いて、符号構造の完全な代数的記述を提供すること。

提案手法

• 有限体上の多項式環の代数的構造を用い、定型循環符号を商環上のイデアルとして分析する。
• $\bF_q[x]$ 上の多項式の因数分解技術を適用し、長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号の生成多項式を同定する。
• 線形符号の双対性理論を用い、定型循環符号が自己双対または線形補完双対（LCD）であるための条件を導出する。
• $l$ と $p$ が異なる奇素数であることを利用して、関連する多項式環における一意因数分解および可逆性を保証する。
• 単元 $\beta \neq 1$ に対して、環 $\bF_q[x]/(x^{2\tilde{\nu}m p^n} - \beta)$ の構造を用い、イデアルによる符号の分類を実施する。
• 有限環論およびモジュール論の結果を応用し、符号の生成多項式に基づいて双対符号の特徴を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\bF_q$（奇素数 $p$ のべき）上における長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号の代数的構造は何か？
• RQ2 これらの符号およびその双対符号の生成多項式を明示的に特徴付ける方法は何か？
• RQ3 長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号が自己双対であるための条件は何か？
• RQ4 長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号が線形補完双対（LCD）であるための条件は何か？
• RQ5 長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の $\bF_q$ 上におけるすべての LCD および自己双対定型循環符号を完全に分類できるか？

主な発見

• 本稿は、$\bF_q$ 上における長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ の定型循環符号の生成多項式の完全な特徴付けを提供する。
• 元の符号の生成多項式に基づいて、双対符号の構造を明確に確立する。
• すべての線形補完双対（LCD）定型循環符号が、$\bF_q$ 上で長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ に対して完全に分類されている。
• すべての自己双対定型循環符号が、$\bF_q$ 上で長さ $2\tilde{\nu}m p^n$ に対して完全に同定され、特徴付けられている。
• 分類は、奇素数 $l$ と $p$ が異なることにより、一意因数分解および双対性に必要な代数的性質が保証されることに依存している。
• 結果は、多項式環論および $\bF_q[x]/(x^{2\tilde{\nu}m p^n} - \beta)$ におけるイデアル分解を用いて導出され、符号族の完全な代数的記述が得られている。