[論文レビュー] Reply to "Comment on 'Theoretical analysis of quantum turbulence using the Onsager ideal turbulence theory'"

Tomohiro Tanogami|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2021

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、密度加重速度場 w = √ρv のベゾフ正則性に基づく洗練された分析を用いて、量子乱流におけるダブル・キャスケード状況を擁護する。ここではリチャードソン的エネルギーキャスケードに続く量子ストレスキャスケード（k⁻³スペクトル）が、ボルテックス量子化、正則性仮定、および量子ストレスキャスケードの物理的妥当性に関する批判を排除し、より厳密な数学的取り扱いのもとでもキャスケード構造が安定であることを示している。

ABSTRACT

We refute the criticism expressed in a Comment by Krstulovic, L'vov, and Nazarenko [arXiv:2107.10598] on our paper [Phys. Rev. E 103, 023106 (2021)]. We first show that quantization of circulation is not ignored in our analysis. Then, we propose a more sophisticated analysis to avoid a subtle problem with the regularity of the velocity field. We thus defend the main results of our paper, which predicts the double-cascade scenario where the quantum stress cascade follows the Richardson cascade. We also provide a conjecture on the relation between the Kelvin-wave cascade and the quantum stress cascade.

研究の動機と目的

• クルストゥリビッチ、リヴォフ、ナザルェンコによる量子乱流におけるダブル・キャスケード状況に関する批判に応えること。
• ボルテックスが存在する状況における速度場の正則性に関する懸念を解消すること。
• ケルビン波キャスケードの支配的影響が予想される中でも、k⁻³スペクトルを示す量子ストレスキャスケードの存在を検証すること。
• 物理的整合性を保つために、密度加重速度 w = √ρv を導入することでより強固な数学的枠組みを提供すること。
• 元の結果 [1] がボルテックスコアスケール ℓi より小さいスケールでも有効であることを明確にすること。

提案手法

• ボルテックス線付近での v のベゾフ正則性に起因する問題を回避するため、v の代わりに密度加重速度 w = √ρv を使用すること。
• w に対するベゾフ正則性を仮定：||δw(r;·)||_p ∼ Ap w₀ (|r|/L)^σp （|r|/L → 0 のとき）、σp ∈ (0,1]。
• スケール局在エネルギーフラックス Πℓ、Λ(p)ℓ、Λ(Σ)ℓ を導入し、スケール間の運動エネルギー移動を分析する。
• エネルギーフラックスの漸近的スケーリング則を導出：||Πℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{3σp−1}、||Λ(p)ℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{σp+1}、||Λ(Σ)ℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{σp−1}。
• 量子バロピクナル仕事 Λ(Σ)ℓ を量子ストレスキャスケードの主因とすること。
• これらの仮定のもとで、エネルギースペクトルが E(k) ∼ Clarge k⁻⁵/³（リチャードソンキャスケード）および E(k) ∼ Csmall k⁻³（量子ストレスキャスケード）を示すことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の v に対するベゾフ仮定よりもより厳密な正則性条件のもとで、k⁻³スペクトルを示す量子ストレスキャスケードが成立するか？
• RQ2 ボルテックスが存在する状況でも、v の正則性に依存せずにダブル・キャスケード状況を一貫して導出できるか？
• RQ3 量子ストレスキャスケードは、シュレーディンガー方程式のような線形系におけるキャスケードと物理的に区別できるか？
• RQ4 密度加重速度 w = √ρv を用いることで、力学的モデルの数学的整合性はどのように向上するか？
• RQ5 量子ストレスキャスケードとケルビン波キャスケードの関係、特にスペクトルの急峻化に関してはいかがな関係か？

主な発見

• k⁻³スペクトルを示す量子ストレスキャスケードは、リチャードソンキャスケードに続く量子バロピクナル仕事 Λ(Σ)ℓ の直接的結果として生じる。
• エネルギースペクトルはダブル・キャスケード構造を示す：k ≪ ℓ⁻¹_i の領域では E(k) ∼ Clarge k⁻⁵/³、ℓ⁻¹_i ≪ k ≪ ℓ⁻¹_small の領域では E(k) ∼ Csmall k⁻³。
• 密度加重速度 w = √ρv を用いることで、ボルテックス線付近での速度場の振る舞いが良好に保たれ、正則性に関する懸念が解消される。
• k⁻³スペクトルは、新たな正則性仮定のもとでも安定しており、ケルビン波の影響によっては緩やかになる可能性があるが、依然として成立する。
• 元の結果 [1]（コルモゴロフに類似た 4/5 の法則を含む）は、ボルテックスコアスケール ℓi より小さいスケールでも有効である。
• 解析により、量子オイラー方程式がGPE解を適切に包含しており、波動関数の単値性によってボルテックス量子化が保たれることを確認した。