[論文レビュー] Représentations galoisiennes automorphes et conséquences arithmétiques des conjectures de Langlands et Arthur

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 96被引用数 8

ひとこと要約

ガエラン・シェニエのハビリテーション・リポートは、ラングランズおよびアーチャー予想の算術的帰結と、自動形式的ガロア表現の深い関係を展開する。本論文は、Gal(ϵ/Q) の p進的特徴類体の部分集合としての『無限のフERN』——フラクタルに似た構造——を導入し、自動形式的ガロア表現のザリスキ閉包を研究することで、シミプレクティック／直交的選択肢、極化表現の符号、低重量の場合のガロア表現の構成に関する新たな結果を得た。

ABSTRACT

This is the memoir of my habilitation thesis, defended on March 29 th, 2013 (Université Paris XI).

研究の動機と目的

• Gal(ϵ/Q) の p進的特徴類体における自動形式的ガロア表現の構造およびザリスキ閉包を理解すること。
• 特に低導手モチーフおよび非分岐拡大に対して、ラングランズおよびアーチャー予想の算術的帰結を確立すること。
• 非正則重量におけるガロア表現の構成およびそのシミプレクティック／直交的性質を特定すること。
• p進的解析的空間および擬表現がガロア表現の変形理論において果たす役割を調査すること。
• 自動形式の理論およびエンドスコピック理論を、類体論およびクネーザー隣接理論の問題に応用すること。

提案手法

• Gal(ϵ/Q) の p進的特徴類体における自動形式的ガロア表現をパラメトライズする、フラクタルに似た部分集合としての『無限のフERN』を構成する。
• p進的解析幾何学および擬表現を用いて、ガロア表現の変形空間を研究する。
• GL(n) およびユニタリ群上の自動形式の理論を応用し、低重量の場合のガロア表現を構成する。
• 局所ラングランズ対応および基本補題を用いて、局所ガロア表現およびそのクリスタリン類似を分析する。
• クネーザー隣接およびユニモジュラー格子の理論を用いて、特定の算術的対象を列挙・分類する。
• 自動形式による手法を通じてブロッハ＝カト予想を適用し、所望の性質を持つガロア拡大を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gal(ϵ/Q) の p進的特徴類体内における自動形式的ガロア表現の集合のザリスキ閉包は何か？
• RQ2 全実体上の本質的に自己双対なガロア表現のシミプレクティックまたは直交的性質をどのように特定できるか？
• RQ3 導手 1 のモチーフおよび非分岐拡大に対して、アーチャー＝ラングランズ予想の算術的帰結は何か？
• RQ4 自動形式的手法を用いて非正則重量におけるガロア表現を構成できるか？
• RQ5 有限個の素数を除く Q の最大非分岐拡大のガロア群の構造は何か？

主な発見

• 無限のフERNは、p進的特徴類体における自動形式的ガロア表現のザリスキ閉包の幾何的モデルを提供する。
• 本論文は、全実体上の本質的に自己双対な自動形式的ガロア表現に対して、シミプレクティック／直交的選択肢を確立した。
• 無限のフERN構成を用いて、CM体上の極化自動形式的ガロア表現の符号を特定した。
• 著者は、自動形式的リフト技術を用いて、非正則重量を含む低重量の場合のガロア表現を構成した。
• 理論により、ランク 24 までのユニモジュラー格子のクネーザー隣接の分類が得られ、ハードラーおよびネーベ＝ヴェンコフ予想への応用が可能となった。
• 本論文は、Q 上の純粋で極化されたモチーフ（導手 1）の小ランクにおける推定列挙を提示し、自動形式の計算による支援を得た。