[論文レビュー] Representability of Matroids by c-Arrangements is Undecidable

Lukas Kühne, Geva Yashfe|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

graph theory and CDMA systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ある与えられたマトロイドが、次元 c の部分空間が次元-重複度条件を満たす c-アレンジメントによって表現可能かどうかを決定することは、任意の体においてアルゴリズム的に決定不能であることを証明している。著者らは、一般化されたダウリング幾何を用いて、有限群の均一な語問題（UWPFG）を c-アレンジメント表現可能性に還元し、多線形マトロイド表現可能性が決定不能であることを確立している。この結果は、ネットワークコーディングおよび秘密分散共有の分野に影響を及ぼす。

ABSTRACT

For a natural number $c$, a $c$-arrangement is an arrangement of dimension $c$ subspaces satisfying the following condition: the sum of any subset of the subspaces has dimension a multiple of $c$. Matroids arising as normalized rank functions of $c$-arrangements are also known as multilinear matroids. We prove that it is algorithmically undecidable whether there exists a $c$ such that a given matroid has a $c$-arrangement representation, or equivalently whether the matroid is multilinear. It follows that certain network coding problems are also undecidable. In the proof, we introduce a generalized Dowling geometry to encode an instance of the uniform word problem for finite groups in matroids of rank three. The $c$-arrangement condition gives rise to some difficulties and their resolution is the main part of the paper.

研究の動機と目的

• 多線形マトロイド表現可能性が決定可能かどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• c-アレンジメント表現可能性と有限群の均一な語問題（UWPFG）との間の関係を確立すること。
• マトロイドに c-アレンジメント表現が存在するかどうかが、代数的に閉じた体でさえも決定不能であることを示すこと。
• ランク3のマトロイドに群の提示を符号化するため、ダウリング幾何の構成を拡張すること。
• UWPFGの決定不能性が、計算可能な還元を介して c-アレンジメント表現可能性の決定不能性を示すこと。

提案手法

• 有限群の提示 ⟨S∣R⟩ から一般化されたダウリング幾何を構成し、群の元と関係をランク3のマトロイドに符号化する。
• 4.3節の構成を用いて、区別された基底と群の語に対応する要素を持つ三角マトロイド N_{S,R} を定義する。
• 定理7.6を用いて、N_{S,R} から導かれる多形的マトロイド g を定義し、群提示の構造を捉える。
• g の良好に分離された拡張から、c-基底を用いて要素の分離を保証する二重アレンジメント W を構成する。
• マルチェフの定理を用いて、無限大行列群から有限商群へと移行し、表現の非等価性を保存する。
• UWPFG への還元を適用する：マトロイドが A_x ≠ A_y を満たす弱 c-表現を持つことと、群の語が非自明であることとは同値であり、c-アレンジメント表現可能性と関連する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたマトロイドが任意の体上で c-アレンジメント表現をもつかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 有限群の均一な語問題は、マトロイドの c-アレンジメント表現可能性問題に還元可能か？
• RQ3 2つの要素に対して異なる部分空間を持つ弱 c-表現が存在する場合、拡張されたマトロイドに c-アレンジメント表現が存在するか？
• RQ4 多線形マトロイド表現可能性は 1-アレンジメント表現可能性よりも厳密に表現力が強く、かつ決定可能か？
• RQ5 関連するマトロイドが与えられたとき、ネットワークコーディングインスタンスに線形解が存在するかどうかを決定する計算量はどの程度か？

主な発見

• 任意の体、特に代数的に閉じた体においても、マトロイドの多線形表現可能性問題は決定不能である。
• 決定不能性は、スロボツキーの定理により既知の決定不能性を示す有限群の均一な語問題（UWPFG）への計算可能な還元に起因する。
• 群提示 ⟨S∣R⟩ から構成されたマトロイド N_{S,R} は、A_x ≠ A_y を満たす弱 c-表現を持つことと、語 w が群で非自明であることとは同値である。
• このような弱 c-表現が存在する場合、g から得られる 2g のある拡張が、x と y を分離する c-アレンジメント表現を持つ。
• 有限個の関連マトロイド M_i のいずれかに c-アレンジメント表現が存在することは、UWPFG インスタンスが否定的解答を持つことと同値である。
• この結果により、ネットワークコーディング問題に線形ベクトル解が存在するかどうかを決定することは、多線形表現可能性と既に知られている同値性により、決定不能であることが示される。