[論文レビュー] Representation embeddings and the second Brauer-Thrall conjecture

Klaus Bongartz|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の基本的で表現無限次元 $k$-代数 $A$ に対して、多項式環 $k[T]$ からその代数への強い表現埋め込みを、$k[T]$ 上でランクが最大 $\max(4d, 30)$ の自由となる双モジュール ${}_A M_{k[T]}$ を用いて構築する。主な貢献は、第二ブラウアー＝スラル予想の数値的形態の証明であり、このような埋め込みがランクの上限を持つことを示し、特に関数体の特徴が 0 と正の特徴を持つ場合の最小埋め込み類を分類する。

ABSTRACT

We prove that over an algebraically closed field there is a representation embedding from the category of classical Kronecker-modules without the simple injective into the category of finite-dimensional modules over any representation-infinite finite-dimensional algebra. We also sharpen some known results on representation embeddings, we simplify some proofs and we construct a simultaneous orthogonal embedding for an infinite family of module categories. In the last section the minimal classes of representation-infinite algebras are determined. The result depends on the characteristic.

研究の動機と目的

• 有限次元 $d$ の任意の基本的で表現無限次元 $k$-代数 $A$ に対して、$\mathrm{mod}\,k[T]$ から $A$ への表現埋め込みを確立すること。
• 埋め込みを誘導する双モジュールのランクを有界化することにより、第二ブラウアー＝スラル予想の数値的形態を証明すること。
• 特徴が 0 と正の特徴を持つ両方の状況において、表現無限次元代数の最小埋め込み類を分類すること。
• 特に、野生的・ tame な代数との関係において、埋め込み類の構造を明確にすること。
• 表現理論の古典的結果について、表現埋め込みの枠組みを用いて新たな解釈と証明を提供すること。

提案手法

• 次元 $d$ の基本的で表現無限次元 $k$-代数 $A$ に対して、$k[T]$ 上でランクが最大 $\max(4d, 30)$ の自由となる双モジュール ${}_A M_{k[T]}$ を構成する。
• この双モジュールとのテンソル積を用いて、表現埋め込み $F: \mathrm{mod}\,k[T] \to \mathrm{mod}\,A$ を定義する。
• 前射影的成分やティルティング理論に関する深い定理を応用し、埋め込みの構造を分析する。
• 集合論の初等的性質と行列を用いない構成法を用いて、$kQ$ への埋め込み $\mathrm{mod}\,A_i \to \mathrm{mod}\,kQ$ を構築する（$Q$ は互いに直交するホモロジー空間を持つ野生的クイバー）。
• アイレンバーグ＝ウォーツの定理を用いて、完全かつ忠実な関手を双モジュールによるテンソル関手として表現する。
• クイバー表現における前射影的・前入射的成分の性質を用いて、モリタ同値類と埋め込み類を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限次元 $d$ の基本的で表現無限次元 $k$-代数 $A$ に対して、$k[T]$ 上で有界ランクの自由となる双モジュールを用いて、$\mathrm{mod}\,k[T]$ への埋め込みが可能か？
• RQ2 このような双モジュールの最小ランクは何か？また、$d$ に依存する関係は？
• RQ3 特徴が 0 と正の特徴の両方において、表現無限次元代数の埋め込み類はどのように分解されるか？
• RQ4 正の特徴において、$kK_2$ の埋め込み類に含まれるモリタ同値類は有限個か？
• RQ5 特徴が 0 のとき、$k[X,Y]/(X,Y)^2$ の埋め込み類の構造は何か？また、$kK_2$ のそれと比較するとどうなるか？

主な発見

• 任意の基本的で表現無限次元 $k$-代数 $A$（次元 $d$）に対して、$k[T]$ 上でランクが最大 $\max(4d, 30)$ の自由となる双モジュール ${}_A M_{k[T]}$ が存在し、$M$ とのテンソル積により $\mathrm{mod}\,k[T] \to \mathrm{mod}\,A$ への表現埋め込みが得られる。
• 特徴が 0 のとき、最小埋め込み類は $kK_2$ と $k[X,Y]/(X,Y)^2$ であり、それぞれがちょうど一つのモリタ同値類を含む。
• 正の特徴 $p > 0$ においては、唯一の最小埋め込み類は $kK_2$ であるが、これは可算無限個のモリタ同値類を含む。
• 表現無限次元代数 $A$ に対して、$\mathrm{mod}\,A \to \mathrm{mod}\,kK_2$ となる表現埋め込み $F$ が存在するならば、$A$ は $kK_2 \times B$ にモリタ同値であり、$B$ は表現有限次元である。
• 正の特徴において $kK_2$ の埋め込み類には、表現有限次元代数に多項式的基底が存在するため、可算無限個のモリタ同値類しか含まない。
• $k\langle X,Y\rangle/(X^2,Y^2,XY-\lambda YX)$ の形をした二つの代数が同じ埋め込み類に属するのは、それらが同型であるときのみであり、これは、tame な代数に対して無限個の異なる埋め込み類が存在することを示唆する。