[論文レビュー] Representation formulae for the fractional Brownian motion

Picard, Jean|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率積分と級数展開を用いた分数 Browm 運動（fBm）の表現公式を統一的に取り扱い、fBm、Riemann-Liouville プロセス、Fourier-Wiener 級数との関係を確立する。fBm、Riemann-Liouville プロセス、Fourier-Wiener 級数の Cameron-Martin 空間が等価であることを証明し、分数級数法とエルゴディック理論を用いて、それらの分布が等価または互いに特異であるための条件を特定する。

ABSTRACT

We discuss the relationships between some classical representations of the fractional Brownian motion, as a stochastic integral with respect to a standard Brownian motion, or as a series of functions with independent Gaussian coefficients. The basic notions of fractional calculus which are needed for the study are introduced. As an application, we also prove some properties of the Cameron-Martin space of the fractional Brownian motion, and compare its law with the law of some of its variants. Several of the results which are given here are not new; our aim is to provide a unified treatment of some previous literature, and to give alternative proofs and additional results; we also try to be as self-contained as possible.

研究の動機と目的

• 分数 Browm 運動（fBm）の古典的表現を、確率積分と級数展開を用いて統一的に再導出すること。
• fBm、Riemann-Liouville プロセス、Fourier-Wiener 級数表現との関係を明確化すること。
• fBm の Cameron-Martin 空間を分析し、その分布を変種と比較することにより、等価性および特異性の基準を適用すること。
• 既知の fBm 理論の結果について、自己完備な証明と代替的導出を提供すること。

提案手法

• 標準的な Browm 動的過程 W を用いた fBm の確率積分表現 ∫K^H(t,s)dW_s を用いる。
• 特に Riemann-Liouville および重み付き分数級数作用素を含む分数級数法を適用し、カーネル表現を導出する。
• Lamperti 変換を用いて自己相似過程と定常過程を関連付け、エルゴディック理論を適用する。
• Birkhoff エルゴディック定理を用いて、小時間における挙動と自己相似過程の全共分散構造を関連付ける。
• Feldman-Hájek の定理を適用し、Cameron-Martin 空間の同型およびヒルベルト＝シュミット作用素を用いてガウス測度の等価性または特異性を特定する。
• Cameron-Martin 空間間の作用素 Q−I のヒルベルト＝シュミット性を分析することで、fBm 及びその変種の分布を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm 運動は、標準的 Browm 動的過程に関する確率積分としてどのように表現できるか？
• RQ2 fBm、Riemann-Liouville プロセス、Fourier-Wiener 級数表現との関係は何か？
• RQ3 二つの fBm 変種の分布が等価または互いに特異であるのはどのような場合か？
• RQ4 fBm の Cameron-Martin 空間は、その変種のそれらとどのように関係しているか？
• RQ5 自己相似ガウス過程の全分布は、その小時間挙動から回復可能か？

主な発見

• 適切なパrameter 選択のもとで、fBm、Riemann-Liouville プロセス、Fourier-Wiener 級数表現の Cameron-Martin 空間は等価である。
• fBm の分布がその Riemann-Liouville 変種と等価であるための必要十分条件は、関連する作用素 Q−I がヒルベルト＝シュミット作用素であることである。
• H ∈ (0,1) に対して、fBm の分布は、Birkhoff エルゴディック定理を用いて、小時間における共分散挙動によって一意に特定可能である。
• ボルテラカーネルによる fBm の標準的表現により、fBm のフィルトレーションが駆動過程の増分のフィルトレーションに含まれることが保証される。
• H=1 の分数 Browm 運動は、無限大の分散と小時間における 0-1 法則の不成立のため、分析から除外される。
• 分離可能な Fréchet 空間上の中心化ガウス測度が等価であるための必要十分条件は、それらの Cameron-Martin 空間が同型であり、差作用素 Q−I がヒルベルト＝シュミット作用素であることである。