[論文レビュー] Representation homology of spaces and higher Hochschild homology

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的ホモロジー代数を用いて位相的空間の表現ホモロジーを導入し、特に点付き連結空間の削ぎ落とし懸垂の表現ホモロジーがその高次ホッホシュチルトホモロジーと同型であることを示すことにより、幾何的直接的関係を確立する。主な貢献は、単連結かつ有限有理型タイプをもつ空間の表現ホモロジーをクィレンおよびスールマンモデルを用いて記述する比較定理である。

ABSTRACT

In this paper, we study representation homology of topological spaces, that is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology in terms of classical (abelian) homological algebra. Our construction is parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by showing that the representation homology of the (reduced) suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other standard homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, S^1-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds (such as link complements in R^3 and the lens spaces L(p,q)). One of our main results, which we call the Comparison Theorem, expresses the representation homology of a simply-connected topological space of finite rational type in terms of its Quillen and Sullivan models.

研究の動機と目的

• 基本群の表現多様体のホモロジー的拡張を、古典的ホモロジー代数を用いて開発すること。
• 表現ホモロジーと高次ホッホシュチルトホモロジーの間の幾何的関係を確立すること。
• 表現ホモロジーとポントリャーギン代数や自由ループ空間のS^1-可換ホモロジーといった他のホモロジー理論を結ぶ自然な写像およびスペクトル系列を構成すること。
• 球面、懸垂、射影空間、リーマン面、および3次元多様体といった主要な空間について、表現ホモロジーを明示的に計算すること。
• 単連結かつ有限有理型タイプをもつ空間の表現ホモロジーをクィレンおよびスールマンモデルを用いて記述する比較定理を証明すること。

提案手法

• 導来圏や高次構造を避けて、標準的なアーベル的ホモロジー代数を用いて表現ホモロジーを構成する。
• 高次ホッホシュチルトホモロジーのLoday-Pirashvili構成と類似した枠組みを採用する。
• 空間の削ぎ落とし懸垂の表現ホモロジーがその高次ホッホシュチルトホモロジーと同型であることを示す。
• 自由ループ空間のS^1-可換ホモロジーおよび自由群の自己同型群の安定ホモロジーへとつながる自然な写像およびスペクトル系列を導入する。
• 単連結かつ有限有理型タイプの設定において、クィレンおよびスールマンモデルを用いて表現ホモロジーを分析する。
• 古典的ホモロジー技法を用いて、球面、レンズ空間、およびリンク補空間といった特定のケースにおける表現ホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的ホモロジー代数のみを用いて、位相的空間の表現ホモロジーを構成できるか？
• RQ2 表現ホモロジーと高次ホッホシュチルトホモロジーの間の正確な幾何的関係は何か？
• RQ3 表現ホモロジーは、ポントリャーギン代数や自由ループ空間のS^1-可換ホモロジーといった他の標準的ホモロジー理論とどのように関係するか？
• RQ4 球面、射影空間、および3次元多様体といった空間について、表現ホモロジーを明示的に計算できるか？
• RQ5 単連結かつ有限有理型タイプをもつ空間の表現ホモロジーは、クィレンおよびスールマンモデルを用いてどの程度まで記述可能か？

主な発見

• 点付き連結空間の削ぎ落とし懸垂の表現ホモロジーは、その高次ホッホシュチルトホモロジーと同型である。
• 自由ループ空間のS^1-可換ホモロジーおよび有限生成自由群の自己同型群の安定ホモロジーへとつながる自然な写像およびスペクトル系列が構成された。
• 明示的計算により、球面、懸垂、複素射影空間、およびリーマン面の表現ホモロジーが既知のホモロジー不変量で表現可能であることが示された。
• レンズ空間L(p,q)およびR^3内のリンク補空間について、開発された枠組みを用いて表現ホモロジーが明示的に計算された。
• 比較定理により、単連結かつ有限有理型タイプをもつ空間の表現ホモロジーがクィレンおよびスールマンモデルを用いて完全に記述可能であることが示された。