[論文レビュー] Representation of convex geometries by circles on a plane

Kira Adaricheva, Madina Bolat|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Mathematics and Applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平面上の円を用いた有限な凸幾何構造の表現のための必要条件として、弱い $2\times 3$-カーニバル則を導入する。この則を満たさない有限凸幾何構造が存在することを示し、円による表現が点に基づくアフィン表現よりも制限が厳しいことを示し、凸幾何構造の平面上の円による表現のための新たな組合せ的障害を同定する。

ABSTRACT

Convex geometries are closure systems satisfying the anti-exchange axiom. Every finite convex geometry can be embedded into a convex geometry of finitely many points in an n-dimensional space equipped with a convex hull operator, by the result of K. Kashiwabara, M.Nakamura and Y.Okamoto (2005). Allowing circles rather than points, as was suggested by G.Czédli (2014), may presumably reduce the dimension for representation. This paper introduces a property, the Weak $2 imes 3$-Carousel rule, which is satisfied by all convex geometries of circles on a plane, and we show that it does not hold in all finite convex geometries. This raises a number of representation problems for convex geometries, which may allow us to better understand the properties of Euclidean space related to its dimension.

研究の動機と目的

• 点に基づくアフィン表現を超えて、平面上の円による凸幾何構造の表現が可能かどうかを調査すること。
• 一般の有限凸幾何構造とは異なる、円で表現可能な凸幾何構造を特徴づける組合せ的性質を同定すること。
• 弱い $2\times 3$-カーニバル則が、平面上の円による表現のための必要条件であるかどうかを特定すること。
• この則が、ユークリッド空間内での凸幾何構造の次元と構造に与える影響を検討すること。
• 点や円を超える幾何的形状を用いた凸幾何構造の強および弱い表現に関する、新たな研究方向性を開くこと。

提案手法

• 円の配置がもつ幾何的制約から導かれる、閉包系における組合せ的条件として、弱い $2\times 3$-カーニバル則を導入する。
• 平面上の円の閉包系を分析し、凸包に類似した閉包作用素 $\varphi_c$ を定義するが、これは円の包含関係に基づく。
• 弱い $2\times 3$-カーニバル則に反する、凸次元 $\operatorname{cdim} = 6$ の反例となる凸幾何構造を構成する。
• この則の違反を用いて、この幾何構造が平面上の円によって表現できないことを証明する。
• この則の結果を、既知のアフィン凸幾何構造および順序型問題に関する結果と比較する。
• 閉包系の構成を、境界がパラメータ化可能な滑らかで有界な凸形状（例：楕円）へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限凸幾何構造は、平面上の円による強い表現をもつのか？
• RQ2 弱い $2\times 3$-カーニバル則は、凸幾何構造が平面上の円によって表現可能であるための必要条件か？
• RQ3 弱い $2\times 3$-カーニバル則に反する凸幾何構造でも、平面上の点による弱い表現が可能か？
• RQ4 凸次元 $\operatorname{cdim}(G)$ と、強い円による表現に必要な最小次元 $\dim_c(G)$ の関係は何か？
• RQ5 境界がパラメータ化可能な凸形状（例：楕円）の集合からなる閉包系は、一般化された閉包作用素のもとで凸幾何構造をなすか？

主な発見

• 弱い $2\times 3$-カーニバル則は、有限凸幾何構造が平面上の円によって表現可能であるための必要条件である。
• 凸次元が 6 である凸幾何構造を明示的に構成し、弱い $2\times 3$-カーニバル則に反する。このため、この幾何構造は平面上の円によって表現できないことが証明された。
• この幾何構造は 2-カーニバル性質にも反するため、平面上の点による弱い表現も不可能であり、円表現と点表現の間で明確な分離が示された。
• 本稿では、$\dim_c(G) < \dim(G)$ が可能であることを示した。具体的には、$\dim_c(G) = 2$ であるが $\dim(G) > 2$ である幾何構造の例が提示された。これは、円による表現が点に基づく表現よりも次元的に効率的である可能性を示唆する。
• 滑らかでパラメータ化可能な境界を持つ有限個の凸形状（例：楕円）からなる閉包系は、反交換公理を満たし、したがって凸幾何構造をなす。
• 多角形のような滑らかでない形状ではこの結果は成り立たないため、一般化には滑らかさとパラメータの再構築可能性が本質的であることが示された。