[論文レビュー] Representation of Itô Integrals by Lebesgue/Bochner Integrals

Qi Lü, Jiongmin Yong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ベクトル値確率過程のための新規なリース型双対性特徴付けを用いて、精密な可積分性条件の下でイト積分をレベーグまたはボッホナー積分として表現することを確立する。主な貢献は、確率的システムの正確な可制御性の新たな定義を可能にする精密な双対性フレームワークであり、ボラティリティがゼロであってもブラック・ショールズモデルにおける市場の完全性を示す条件を導出する。

ABSTRACT

In [22], it was proved that as long as the integrand has certain properties, the corresponding Itô integral can be written as a (parameterized) Lebesgue integral (or a Bochner integral). In this paper, we show that such a question can be answered in a more positive and refined way. To do this, we need to characterize the dual of the Banach space of some vector-valued stochastic processes having different integrability with respect to the time variable and the probability measure. The later can be regarded as a variant of the classical Riesz Representation Theorem, and therefore it will be useful in studying other problems. Some remarkable consequences are presented as well, including a reasonable definition of exact controllability for stochastic differential equations and a condition which implies a Black-Scholes market to be complete.

研究の動機と目的

• 一般化された可積分性条件の下でイト積分をレベーグまたはボッホナー積分として精密に表現すること。
• 混合$L^p$-$L^q$可積分性を有するベクトル値確率過程の双対空間を特徴付け、古典的リース表現定理を拡張すること。
• 双対性フレームワークを用いて、確率的微分方程式のための新たな一貫性のある正確な可制御性の概念を定義すること。
• ボラティリティがゼロであってもブラック・ショールズ市場が完全である条件を確立すること。
• 制御の正しい関数空間を同定することで、確率的可制御性における曖昧さを解消すること。

提案手法

• 混合時間および確率的可積分性を有するベクトル値確率過程を分析するため、Banach空間$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ 及びその双対を導入する。
• 空間$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ の双対に対するリース型表現定理を構築し、イト積分をボッホナーまたはレベーグ積分として表現可能にする。
• マルティンゲール表現定理を用いて、$L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;H)$ を定数関数とイット積分の直和に分解し、双対性解析を容易にする。
• 双対性結果を応用して、確率的制御問題における新たな許容制御クラス$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$ を定義する。
• 制御系におけるイット積分が適切に定義されるためには、$Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$ が必要であることを確立する。
• 継続的クレームのレプリケーションのための後向き確率微分方程式（BSDE）を解析し、市場完全性のための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被積分関数の一般化された可積分性条件下で、イット積分をレベーグまたはボッホナー積分として表現できるか？
• RQ2 混合$p,q$-可積分性を有する$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ の双対空間は何か？ そして、これはリース表現定理とどのように関係するか？
• RQ3 確率的システムにおけるイット積分が適切に定義され、正確な可制御性が達成されるために必要な制御の正しい関数空間は何か？
• RQ4 ボラティリティがゼロであっても、ブラック・ショールズ市場が完全であるための条件は何か？
• RQ5 制御空間として$L^1$と$L^2$を用いる場合、確率的システムの可制御性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 空間$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ の双対は、リース型表現によって特徴付けられ、イット積分をボッホナーまたはレベーグ積分として表現可能である。
• 被積分関数が$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ に属し、$p,q$ が特定の双対性条件を満たす場合、イット積分はレベーグ積分として表現可能である。
• 確率的システムのための正確な可制御性の新たな定義が提案され、制御が$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$ に属し、$Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$ を満たすことが要請される。
• ボラティリティがゼロで$b-r > 0$ であるブラック・ショールズ市場は完全であることが示され、$L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;\mathbb{R})$ に属する任意の継続的クレームはレプリケーション可能である。
• 本稿は、決定論的設定とは異なり、確率的設定では正確な可制御性を達成するためには$L^1$-制御が必須であることを示している。