[論文レビュー] Representation of Polytopes as Polynomial Zonotopes

Niklas Kochdumper, Matthias Althoff|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の有界多面体を多項式ゾノトープとして表現する新しい手法、Z表現を導入する。これにより、線形変換、ミンコフスキー和、凸包の多項式時間計算が可能になる。特定の多面体に対しては、V表現やH表現よりもよりコンパクトであり、軸に平行な区間による定義域の過剰近似を避けることで、非線形関数の範囲同定をより厳密に行える。

ABSTRACT

We prove that each bounded polytope can be represented as a polynomial zonotope, which we refer to as the Z-representation of polytopes. Previous representations are the vertex representation (V-representation) and the halfspace representation (H-representation). Depending on the polytope, the Z-representation can be more compact than the V-representation and the H-representation. In addition, the Z-representation enables the computation of linear maps, Minkowski addition, and convex hull with a computational complexity that is polynomial in the representation size. The usefulness of the new representation is demonstrated by range bounding within polytopes.

研究の動機と目的

• 有界多面体のための新しい表現を構築し、線形変換、ミンコフスキー和、凸包といった主要な演算を効率的に計算可能にする。
• 特定のクラスの多面体に対して、Z表現が従来のV表現やH表現よりもよりコンパクトであることを示す。
• 軸に平行な区間による定義域の過剰近似を避けることで、非線形関数の範囲同定をより厳密に行えるようにする。
• Z表現とV表現の間の変換アルゴリズムを提供し、その計算複雑性を分析する。

提案手法

• Z表現は、多項式ゾノトープのスパース表現を用いて、有界多面体を多項式ゾノトープとして表現する。
• 多項式ゾノトープの代数的構造を活用し、生成行列と指数ベクトルを用いて多面体を表現する。
• 線形変換、ミンコフスキー和、凸包は行列演算と多項式演算を用いて計算され、表現サイズに関して多項式時間の複雑性を保証する。
• V表現からZ表現への変換は頂点数に関して多項式時間で実行可能であるが、Z表現からV表現への変換は生成子数に関して指数時間である。
• 範囲同定に応用する際、Z表現された多面体に直接的にテイラー・モードルに類似した技法を適用することで、区間の過剰近似を回避する。
• 多面体と多項式の相乗的性質に着目し、ニュートン多面体とエーリヒト多項式を基盤として、効率的かつコンパクトな集合表現を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界多面体は多項式ゾノトープとして表現可能か？
• RQ2 特定の多面体に対してZ表現はV表現やH表現よりもよりコンパクトか？
• RQ3 Z表現を用いることで、線形変換、ミンコフスキー和、凸包といった演算を多項式時間で計算可能か？
• RQ4 Z表現は、区間法やテイラー・モードル法と比較して、非線形関数の範囲同定をより厳密に行えるか？
• RQ5 Z表現と他の多面体表現との間の変換の計算複雑性はいかほどか？

主な発見

• 任意の有界多面体は正確に多項式ゾノトープとして表現可能であり、Z表現が普遍的な多面体表現であることが確立された。
• 線形変換、ミンコフスキー和、凸包の計算複雑性は、Z表現のサイズに関して多項式時間である。これは、V表現やH表現におけるNP困難または指数時間の複雑性とは対照的である。
• 多数の生成子を持つ高次元ゾノトープでは、V表現やH表現の下界を用いても、Z表現が最小の表現複雑性を達成する。
• 範囲同定において、Z表現は正確な境界 [−14.8872, 1.4094] に非常に近い境界 [−14.888, 1.4097] を得る。これは区間演算 ([−25.25, 4]) や区間過剰近似におけるテイラー・モードル ([−19.7365, 2.3049]) を上回る性能を示す。
• V表現からZ表現への変換は頂点数に関して多項式時間であるが、Z表現からV表現への変換は生成子数に関して指数時間である。