[論文レビュー] Representation of quantum dynamics of interacting systems through classical trajectories

Anatoli Polkovnikov|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ニュートン的、グロス＝ピタエフスキー的、ブロッホ的古典的極限の周りの摂動展開を用いて、経路積分法を用いて位相空間表現による多粒子系の量子力学的ダイナミクスを提示する。Wigner関数、Weyl記号、Moyal積が導出され、量子ジャンプと非線形応答が自然に現れる。KeldyshおよびWigner-Weyl技法と関連づけられる統一的枠組みが提示され、冷たい原子系（Bose-HubbardモデルやDickeモデルなど）への応用が示される。

ABSTRACT

We discuss a phase space representation of quantum dynamics of systems with many degrees of freedom. This representation is based on a perturbative expansion in quantum fluctuations around one of the classical limits. We explicitly analyze expansions around three such limits: (i) corpuscular or Newtonian limit in the coordinate-momentum representation, (ii) wave or Gross-Pitaevskii limit for interacting bosons in the coherent state representation, and (iii) Bloch limit for the spin systems. We discuss both the semiclassical (truncated Wigner) approximation and further quantum corrections appearing in the form of either stochastic quantum jumps along the classical trajectories or the nonlinear response to such jumps. We also discuss how quantum jumps naturally emerge in the analysis of non-equal time correlation functions. This representation of quantum dynamics is closely related to the phase space methods based on the Wigner-Weyl quantization and to the Keldysh technique. We show how such concepts as the Wigner function, Weyl symbol, Moyal product, Bopp operators, and others automatically emerge from the Feynmann's path integral representation of the evolution in the Heisenberg representation. We illustrate the applicability of this expansion with various examples mostly in the context of cold atom systems including sine-Gordon model, one- and two-dimensional Bose Hubbard model, Dicke model and others.

研究の動機と目的

• 多自由度系における量子力学的ダイナミクスの体系的位相空間表現を開発すること。
• 古典的軌道に沿った確率的ジャンプと非線形応答としての半古典的および量子補正を統一すること。
• フェルマーの経路積分をヒルベルト表現で用いて、標準的な位相空間ツール（Wigner関数、Moyal積、Bopp作用素）を導出すること。
• Keldysh形式およびWigner-Weyl正準化技法といった既存の手法とこの形式を結びつけること。
• 冷たい原子系への適用可能性を示すこと。特に、sine-Gordonモデル、Bose-Hubbardモデル、Dickeモデルを含む。

提案手法

• ニュートン的（座標・運動量）、グロス＝ピタエフスキー的（ボソンのコherent状態）、ブロッホ的（スピン系）の古典的極限の周りにおける量子揺らぎの摂動展開を用いる。
• ハイゼンベルク表現におけるフェルマーの経路積分を適用し、Wigner関数とWeyl記号を期待値として導出する。
• Moyal積とBopp作用素が、位相空間における経路積分形式の自然な結果として導かれる。
• 高次の量子補正を表す古典的軌道に沿った確率的量子ジャンプを導入する。
• これらのジャンプに対する非線形応答をモデル化し、半古典的を超える効果を捉える。
• 非等時相関関数と量子ジャンプの出現との直接的な関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多粒子系における量子力学的ダイナミクスは、どのように古典的軌道と量子揺らぎを用いて体系的に位相空間で表現できるか？
• RQ2 ハイゼンベルク表現における経路積分形式から、Wigner関数、Moyal積、Bopp作用素はどのように自然に導かれるか？
• RQ3 この形式において、非等時相関関数の構造から量子ジャンプはどのように生じるか？
• RQ4 量子ジャンプに対する非線形応答が、截断Wigner近似を超える拡張に果たす役割は何か？
• RQ5 この枠組みは、光学格子中の冷たい原子やスピン模型といった相互作用系を記述するためにどのように応用できるか？

主な発見

• フェルマーの経路積分がハイゼンベルク表現において、Wigner関数、Weyl記号、Moyal積を自然に生成する。
• 量子ジャンプは非等時相関関数の構造の結果として生じ、確率的補正の動的起源を提供する。
• 截断Wigner近似は一次項として現れ、高次の補正は量子ジャンプへの非線形応答によって捉えられる。
• 本手法は、ニュートン的、グロス＝ピタエフスキー的、ブロッホ的古典的極限のあらゆる状況において、量子ダイナミクスを統一的に記述可能である。
• 本フレームワークは、1次元および2次元のBose-HubbardモデルやDickeモデルを含む、さまざまな冷たい原子系に適用可能である。
• 位相空間形式を通じてKeldysh技法と接続され、実時間ダイナミクスと量子場理論的手法との橋渡しを可能にする。