[論文レビュー] Representation of relative sheaf cohomology

Tatsuo Suwa|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、軟的または細かい分解に基づく層複体のコホモロジー理論と相対的層コホモロジーとの間の標準的同型を、Čechおよび導来圏の両手法を用いて確立する。特に、パラコンパクト空間および細かい分解の下で、開部分集合上で消える切断のコホモロジーが、元の層の相対コホモロジーと標準的に同型であることを示す相対 de Rham 型定理を証明する。

ABSTRACT

We study the cohomology theory of sheaf complexes for open embeddings of topological spaces and related subjects. The theory is situated in the intersection of the general Cech theory and the theory of derived categories. That is to say, on the one hand the cohomology is described as the relative cohomology of the sections of the sheaf complex, which appears naturally in the theory of Cech cohomology of sheaf complexes. On the other hand it is interpreted as the cohomology of a complex dual to the mapping cone of a certain morphism of complexes in the theory of derived categories. We prove a "relative de Rham type theorem" from the above two viewpoints. It says that, in the case the complex is a soft or fine resolution of a certain sheaf, the cohomology is canonically isomorphic with the relative cohomology of the sheaf. Thus the former provides a handy way of representing the latter. Along the way we develop various theories and establishes canonical isomorphisms among the cohomologies that appear therein. The second viewpoint leads to a generalization of the theory to the case of cohomology of sheaf morphisms. Some special cases together with applications are also indicated.

研究の動機と目的

• 相対層コホモロジーを、軟的分解によって抽象的に定義されるものとは対照的に、具体的かつ計算可能な表現を与えること。
• 相対コホモロジーが開被覆上の切断の複体を介して計算可能であることを示すことにより、Čechコホモロジーと導来圏理論を橋渡しすること。
• 特に複素幾何学において、軟的または細かい分解を用いて de Rham 定理を相対的設定に一般化すること。
• 導来圏におけるコマッピングコーン構成を用いて、層の準同型に対するコホモロジー理論を開発すること。
• 複数のコホモロジー的枠組み間での標準的同型を確立し、選択の独立性と一貫性を保証すること。

提案手法

• 被覆 $ \mathcal{V} = \{V_0 = X', V_1\} $ 上の三重対 $ (\xi_0, \xi_1, \xi_{01}) $ による複体を用いて定義されるコホモロジー理論 $ H^q_{D_{\tilde{K}}}(X,X') $ を導入し、相対的コホモロジーのコチェーンに対して $ \xi_0 = 0 $ とする。
• 空間 $ X $ 及びその開部分集合 $ X' $ の被覆に関するセクションのČech型複体 $ \mathscr{K}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{V}') $ を用い、交代和による微分を定義する。
• 複体 $ \mathscr{K}^\bullet $ が $ \mathscr{S} $ の細かい分解であるとき、$ H^q_{D_{\tilde{K}}}(X,X') $ と $ H^q(X,X'; \mathscr{S}) $ の間の標準的同型を確立し、$ V_1 $ の選択に依存しないことを示す。
• 導来圏におけるマッピングコーンの双対として相対コホモロジーを再解釈し、層準同型への一般化を可能にする。
• Dolbeault コホモロジーにこの枠組みを適用し、Stein被覆を用いて相対 Dolbeault 定理を証明し、Čech-Dolbeault コホモロジーとの中での標準的同型を示す。
• $ C^\infty $-多様体に対して、複体 $ j_!j^{-1}\mathscr{E}^{(\bullet)}_X $ を考察し、そのコホモロジーが $ j_!j^{-1}\mathbb{C}_X $ に係数を持つ相対コホモロジーを計算することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対層コホモロジー $ H^q(X,X';\mathscr{S}) $ は、軟的または細かい分解を用いてどのように具体的に表現できるか？
• RQ2 二つの開被覆上での層複体のČechコホモロジーと、その切断の相対コホモロジーとの関係は何か？
• RQ3 相対 de Rham 定理は、軟的または細かい分解の設定に一般化可能であり、その結果得られる同型は標準的か？
• RQ4 導来圏におけるコマッピングコーンの概念は、層複体の文脈における相対コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、複素幾何学における相対 Dolbeault コホモロジーやコンパクトな台を持つコホモロジーにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 被覆 $ \mathcal{V} = \{X', V_1\} $ を用いて定義されるコホモロジー $ H^q_{D_{\tilde{K}}}(X,X') $ は、$ V_1 $ の選択に依存せず、標準的同型の意味で不変である。
• 任意の細かい分解 $ 0 \to \mathscr{S} \to \mathscr{K}^\bullet $ に対して、$ \mathscr{K}^\bullet|_{X'} $ が細かいとき、$ H^q_{D_{\tilde{K}}}(X,X') \simeq H^q(X,X';\mathscr{S}) $ なる標準的同型が存在し、相対 de Rham 型定理が証明される。
• 相対 Dolbeault コホモロジー $ H^{p,q}_{\bar{\vartheta}}(X,X') $ は、$ H^q(X,X';\mathscr{O}^{(p)}) $ と標準的に同型であり、古典的 Dolbeault 定理を相対的状況に一般化する。
• 複体 $ j_!j^{-1}\mathscr{E}^{(\bullet)}_X $ のコホモロジー $ H^q_{d'}(X) $ は、$ H^q(X; j_!j^{-1}\mathbb{C}_X) $ と標準的に同型であり、コンパクトな台を持つ相対コホモロジーの具体的なモデルを提供する。
• $ H^q_{D'}(X,X') $ の各類は、$ \Omega \subset X $ に台を持つ閉 $ q $-形式 $ \xi_1 $ と、$ d\xi_{01} = \xi_1|_{X'} $ を満たす $ X' $ 上の $ (q-1) $-形式 $ \xi_{01} $ からなる対 $ (\xi_1, \xi_{01}) $ で表される。
• この枠組みにより、Čech コホモロジーと層コホモロジーの間の同型写像を符号の曖昧性が生じない直接的な方法で構成可能であり、古典的 Weil の補題に基づく証明に伴う符号の不確かさを回避できる。