[論文レビュー] Representation of Reynolds Stress Perturbations with Application in Machine-Learning-Assisted Turbulence Modeling

Jinlong Wu, Rui Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、機械学習支援RANSモデルにおける乱流応力固有ベクトルの摂動を表現するための優れた表現として、ユニットクォータニオンを提案する。実証的に、オイラー角ベースの表現は滑らかさやフレーム不変性に欠けるため失敗するのに対し、ユニットクォータニオンは両者の要件を満たし、RANSモデルに対する正確で一般化可能なデータ駆動型補正を可能にする。

ABSTRACT

Numerical simulations based on Reynolds-Averaged Navier--Stokes (RANS) equations are widely used in engineering design and analysis involving turbulent flows. However, RANS simulations are known to be unreliable in many flows of engineering relevance, which is largely caused by model-form uncertainties associated with the Reynolds stresses. Recently, a machine-learning approach has been proposed to assist RANS modeling by building a functional mapping from mean flow features to discrepancies in RANS modeled Reynolds stresses as compared to high-fidelity data. However, it remains a challenge to represent discrepancies in the Reynolds stress eigenvectors in machine learning due to the requirements of spatial smoothness, frame-independence, and realizability. In this work, we propose three schemes for representing perturbations to the eigenvectors of RANS modeled Reynolds stresses: (1) discrepancy-based Euler angles, (2) direct-rotation-based Euler angles, and (3) unit quaternions. We compare these metrics by performing a priori and a posteriori tests on two canonical flows: fully developed turbulent flows in a square duct and massively separated flows over periodic hills. The results demonstrate that the direct-rotation-based Euler angles representation lacks spatial smoothness while the discrepancy-based Euler angles representation lacks frame-independence, making them unsuitable for being used in machine-learning-assisted turbulence modeling. In contrast, the representation based on unit quaternion satisfies all the requirements stated above, and thus it is an ideal choice in representing the perturbations associated with the eigenvectors of Reynolds stress tensors. This finding has clear importance for uncertainty quantification and machine learning in turbulence modeling and for data-driven computational mechanics in general.

研究の動機と目的

• 機械学習を用いたRANSモデルにおけるレイノルズ応力テンソルの固有ベクトル摂動を表現する課題に取り組む。
• 乱流応力異方性のずれをモデル化する際、空間的滑らかさおよびフレーム不変性の欠如という既存の表現の限界を克服する。
• 固有値に基づく異方性の実現可能性と物理的一致性を保証するために、応力テンソル摂動の数学的に堅牢な表現を選択し、データ駆動型RANSモデル補正を実現する。
• 代表的な乱流流れにおける3つの表現（差分に基づくオイラー角、直接回転に基づくオイラー角、ユニットクォータニオン）を、定常流れの例において評価・比較する。
• ユニットクォータニオンが、乱流モデルにおける不確実性評価および機械学習における固有ベクトル摂動の最適表現であることを確立する。

提案手法

• レイノルズ応力テンソルの固有ベクトルの摂動を、剛体回転として定式化する。
• 3つの表現を提案する：(1) 差分に基づくオイラー角、(2) 直接回転に基づくオイラー角、(3) ユニットクォータニオン。これらはRANS予測値と真の応力固有ベクトル間の回転差を符号化する。
• 2つの代表的流れ（正方形断面の全発達乱流、周期的ヒルズ上を流れる大規模に分離した流れ）に対して、事前および事後テストを実施する。
• 機械学習を用いて、3つの表現を介して固有ベクトルの摂動を予測し、DNSデータとの比較による性能を評価する。
• 物理的一致性を保証するため、Lumleyの三角形（重心座標三角形）を用いて実現可能性を強制する。
• 数値的妥当性評価と再構成されたレイノルズ応力成分の比較を通じて、滑らかさおよびフレーム不変性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 差分に基づくオイラー角は、機械学習におけるレイノルズ応力固有ベクトル摂動のフレーム不変表現を提供できるか？
• RQ2 直接回転に基づくオイラー角表現は、応力摂動の学習マッピングにおける空間的滑らかさを保証するか？
• RQ3 異なる流れ配置およびレイノルズ数における機械学習モデルの一般化に、異なる表現がどのように影響を与えるか？
• RQ4 ユニットクォータニオンは、RANSに基づく乱流モデルにおける固有ベクトル摂動のモデリングにおいて、滑らかさとフレーム不変性の両方の要件を満たすか？
• RQ5 表現の選択が、事後テストにおける再構成されたレイノルズ応力成分の精度に与える影響は何か？

主な発見

• 直接回転に基づくオイラー角表現は、機械学習マッピングにおける空間的滑らかさを確保できないため、予測された摂動に物理的に不自然な不連続性が生じる。
• 差分に基づくオイラー角表現はフレーム不変性を欠いており、流れの物理的性質が同じでも座標系の向きが異なるテスト流れに適用した場合、性能が劣化する。
• Re=5600の周期的ヒルズ上を流れる流れにおいて、差分に基づくオイラー角を用いた再構成されたせん断応力成分 $ R_{xy} $ は、斜面側付近でベースラインRANS結果よりも悪化していた。これはフレーム依存性に起因する。
• ユニットクォータニオン表現は、両テストケースにおいてDNSデータと優れた一致を示した。特に、流れ勾配が大きく、固有ベクトルのずれが顕著なヒルズの斜面側で顕著であった。
• ユニットクォータニオンに基づく $ R_{xy} $ の再構成は、RANSおよび差分に基づくオイラー角予測よりも精度が向上しており、乱流強度が高く、複雑な流れ構造を示す領域で顕著であった。
• ユニットクォータニオンは空間的滑らかさおよびフレーム不変性を両方満たしており、機械学習支援RANSモデルにおける固有ベクトル摂動の最適表現である。