[論文レビュー] Representation of the inverse of a multiplier as a multiplier

Péter Balázs, Diana T. Stoeva|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、半正規化された記号に対して、任意の可逆なフレーム乗算子の逆演算子が、元のフレームの逆フレームと逆記号を用いたフレーム乗算子として常に表現可能であることを証明している。一方の逆フレームは一意に定まるが、他方は任意に選べる。この結果は、フレーム理論における深い構造的双対性を確立し、数値的検証を伴ってガボール乗算子へと拡張可能である。

ABSTRACT

Certain mathematical objects appear in a lot of scientific disciplines, like physics, signal processing and, naturally, mathematics. In a general setting they can be described as frame multipliers, consisting of analysis, multiplication by a fixed sequence (called the symbol), and synthesis. They are not only interesting mathematical objects, but also important for applications, for example for the realization of time-varying filters. In this paper we show a surprising result about the inverse of such operators, if existing, as well as new results about a core concept of frame theory, dual frames. We show that for semi-normalized symbols, the inverse of any invertible frame multiplier can always be represented as a frame multiplier with the reciprocal symbol and dual frames of the given ones. Furthermore, one of those dual frames is uniquely determined and the other one can be arbitrarily chosen. We investigate sufficient conditions for the special case, when both dual frames can be chosen to be the canonical duals. In connection to the above, we show that the set of dual frames determines a frame uniquely. Furthermore, for a given frame, the union of all coefficients of its dual frames is dense in $\ell^2$. We also investigate invertible Gabor multipliers. Finally, we give a numerical example for the invertibility of multipliers in the Gabor case.

研究の動機と目的

• フレーム乗算子の逆演算子が双対フレームと逆記号を用いてどのように表現できるかを調査すること。
• 逆表現における両方の双対フレームを標準双対フレームとして選べる条件を特定すること。
• 双対フレーム係数の一意性および密度特性がフレーム再構成とどのように関係するかを調査すること。
• 結果をガボール乗算子へと拡張し、数値的検証を提供すること。

提案手法

• 解析、記号による乗算、合成の間の相互作用に注目したフレーム理論を用いたフレーム乗算子の分析。
• 双対フレーム理論を用いて逆演算子の構造を特徴づける。
• 逆乗算子表現における逆記号の応用。
• 逆表現における一方の双対フレームが一意に定まること、他方が任意に選べることの証明。
• フレームの性質に基づき、両方の双対フレームを標準双対フレームとして選べる条件の調査。
• 具体的な例を用いたガボールケースにおける可逆性の数値的計算と検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆なフレーム乗算子の逆演算子は、常に別のフレーム乗算子として表現可能か？
• RQ2 逆表現における双対フレームの選択は、何によって決定されるか？
• RQ3 逆乗算子における両方の双対フレームを標準双対フレームとして選べる条件は何か？
• RQ4 与えられたフレームのすべての双対フレームの係数は、空間 ℓ² とどのように関係するか？
• RQ5 フレーム乗算子に関する理論的結果は、ガボールケースにおいて数値的に拡張可能で検証可能か？

主な発見

• 半正規化された記号を有する任意の可逆フレーム乗算子の逆演算子は、元のフレームの逆記号と双対フレームを用いたフレーム乗算子として表現可能である。
• 逆表現における双対フレームの一方は一意に定まり、他方は任意に選べる。
• 元のフレームの標準双対フレームとして両方の双対フレームを選べる条件が存在する。
• 与えられたフレームのすべての双対フレームの集合は、元のフレームを一意に特定する。
• 与えられたフレームのすべての双対フレームの係数の集合の和集合は、ℓ² において稠密である。
• 数値的結果により、導出された理論的条件下でガボール乗算子の可逆性が確認された。