[論文レビュー] Representation of Uniform Boundedness Principle and Hahn-Banach Theorem in linear n-normed space

Prasenjit Ghosh, T. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、線形nノルム空間における有界b線形汎関数とその連続性の種別を導入することで、一様有界性原理とハーン＝バナッハの定理をnノルム空間へ拡張する。nバナッハ空間の文脈においてこれらの基本定理を確立し、ノルム表現や分離定理といった重要な応用を示し、有界b線形汎関数の列に対する弱*収束を導入することで、古典的関数解析の結果を高階ノルム構造へ一般化する。

ABSTRACT

The concept of b-linear functional and its different types of continuity in linear n-normed space are presented and some of their properties are being established. We derive the Uniform Boundedness Principle and Hahn-Banach extension Theorem with the help of bounded b-linear functionals in the case of linear n-normed spaces and discuss some examples and applications. Finally, we present the concept of weak*convergence for the sequence of bounded b-linear functionals in linear n-normed space.

研究の動機と目的

• 古典的関数解析の定理—一様有界性原理およびハーン＝バナッハ拡張定理—を線形nノルム空間へ一般化すること。
• nノルム空間におけるb線形汎関数およびその連続性の種別を定義し、それらを分析すること。
• nバナッハ空間における有界b線形汎関数に対して、一様有界性原理およびハーン＝バナッハの定理を確立すること。
• ノルム表現、分離定理、双対性に関する応用を提供すること。
• nノルム空間における有界b線形汎関数の列に対する弱*収束を導入し、その特徴づけを行うこと。

提案手法

• 線形nノルム空間におけるb線形汎関数およびその連続性の種別の概念を導入する。
• XとYのnノルムを用いて直積空間X × Y上のnノルムを定義し、XとYがnバナッハ空間であればX × Yもnバナッハ空間であることを証明する。
• nバナッハ空間の部分空間における有界b線形汎関数に対するハーン＝バナッハ拡張定理を確立する。
• nバナッハ空間における有界b線形汎関数の族に対して一様有界性原理を証明する。
• 有界b線形汎関数の列の弱*収束を導入し、逐次収束を用いてその特徴づけを行う。
• b-核 annihilator および双対空間の構造を用いて、ノルム表現および分離定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーン＝バナッハ拡張定理は、線形nノルム空間における有界b線形汎関数にどのように一般化できるか？
• RQ2 nバナッハ空間における有界b線形汎関数の族に対して、一様有界性原理が成り立つための条件は何か？
• RQ3 nノルム空間における有界b線形汎関数の列に対して、弱*収束はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ4 nノルム空間における双対汎関数の上界に関するノルム表現式が示す意味は何か？
• RQ5 b-核 annihilator の概念を用いて、nバナッハ空間において分離定理を確立できるか？

主な発見

• nバナッハ空間の部分空間における有界b線形汎関数に対してハーン＝バナッハ拡張定理が確立され、ノルムを保存したまま拡張可能であることが保証される。
• nバナッハ空間における有界b線形汎関数の族に対して一様有界性原理が証明され、点毎の有界性が一様有界性を示すことが示された。
• ノルム表現の公式が導出された：∥x, b₂, ..., bₙ∥ = sup{ |T(x, b₂, ..., bₙ)| / ∥T∥ : T ∈ X*F, T ≠ 0 } は、任意の実線形nノルム空間のxに対して成り立つ。
• 部分空間Wとx₁ ∉ Wでh = infₓ∈W ∥x₁ − x, b₂, ..., bₙ∥ > 0を満たすとき、∥T∥ = 1を満たす有界b線形汎関数Tが存在し、T(x₁, b₂, ..., bₙ) = h かつすべてのx ∈ Wに対してT(x, b₂, ..., bₙ) = 0となる。
• b-核 annihilator SₐF 及びその単位球 SθF を用いて、inf{∥x − s, b₂, ..., bₙ∥ : s ∈ S} = sup{ T(x, b₂, ..., bₙ) : T ∈ SθF } が成り立つことが示され、双対性の結果が得られた。
• 有界b線形汎関数の列の弱*収束は、固定されたn-組に対する汎関数の収束を用いて特徴づけられ、古典的バナッハ空間における弱*収束を一般化する。