[論文レビュー] Representation theorems for generators of Reflected BSDEs with continuous and linear-growth generators

Shiqiu Zheng, Shoumei Li|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連続的かつ線形成長を満たす生成子をもつ反射確率的微分方程式（RBSDE）の生成子に対する局所的表現定理を確立する。これは、標準的なBSDEにおける既知の結果を拡張するものであり、主な貢献は増加過程 $K$ を組み込んだ局所的空間における表現であり、弱い条件下でも一般化された逆比較定理やRBSDEの新たな性質の導出を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we establish a local representation theorem for generators of reflected backward stochastic differential equations (RBSDE), whose generators are continuous with linear growth. It generalizes some known representation theorems for generators of backward stochastic differential equations (BSDE). As some applications, a general converse comparison theorem for RBSDE is obtained and some properties of RBSDE are discussed.

研究の動機と目的

• 標準的なBSDEの生成子に関する表現定理を、障害物によって制約を受ける反射BSDE（RBSDE）の設定に拡張すること。
• RBSDEの解が障害物 $L_t$ によって制限されることに起因する、BSDEの表現結果を直接一般化する困難に対処すること。
• 連続的かつ $(y,z)$ に関して線形成長を満たす生成子に対して、増加過程 $K$ を組み込んだ局所的表現定理を確立すること。
• この表現定理を応用して、従来の研究で要求されたリプシッツ連続性よりも弱い条件下でも有効な、一般化されたRBSDEの逆比較定理を導出すること。
• 新たな表現枠組みを用いて、RBSDEの構造的性質（自己財務調整およびゼロ金利条件など）を調査すること。

提案手法

• RBSDEにおける障害物制約を扱うために局所化手法を用い、局所的表現結果の導出を可能にする。
• 生成子 $g$ が停止過程および局所的解を介して比較可能な局所的空間で表現定理を適用する。
• 生成子 $g$ の連続性および線形成長性に依存する、局所的設定におけるRBSDEの比較原理を適用する。
• 停止時刻 $\tau$ を用いて、$\tau$ までにRBSDEを満たす局所的解 $(y_t^\tau, z_t^\tau, k_t^\tau)$ を構成し、生成子の比較を可能にする。
• 仮定 (A3) の下で $g(t,0,0)=0$ が成り立つことを利用し、自明な解の解析を簡略化する。
• コロナリー3.4および注意1を適用して、生成子の比較が、標準的なBSDEとは異なり、グローバルではなく局所的空間でのみ可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子が $(y,z)$ に関して連続的かつ線形成長を満たす場合に、RBSDEの生成子に対する表現定理を確立できるか？
• RQ2 増加過程 $K$ および障害物 $L_t$ の存在が、標準的なBSDEと比較して表現定理の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 表現定理を用いて、リプシッツ連続性を要件としないより弱い条件下でも、RBSDEの逆比較定理を導出できるか？
• RQ4 終端条件が $y$ で障害物が $L_t$ であるRBSDEに対して、定数解 $Y_t = y$ が存在するための条件は何か？
• RQ5 自己財務調整およびゼロ金利条件は、生成子 $g$ が特定の点で消えることとどのように関係するか？

主な発見

• 連続的かつ線形成長の条件の下で、RBSDEの生成子に対する局所的表現定理が確立され、その結果は増加過程 $K$ に依存する。
• 表現定理は、障害物制約のため、生成子の比較がグローバルではなく局所的空間でのみ可能であることを示している。
• 連続的かつ $(y,z)$ に関して線形成長を満たす生成子の下で、一般化された逆比較定理が得られ、リプシッツ連続性を要件としていなかった従来の結果を拡張する。
• 自己財務調整条件は、$\sup_t L_t < 0$ を仮定する限り、$g(t,0,0) = 0$ $P$-a.s. がほとんど everywhere で成り立つことと同値である。
• ゼロ金利条件は、$\sup_t L_t \leq C$ を仮定する限り、$g(t,y,0) = 0$ $P$-a.s. がすべての $y \geq C$ およびほとんど everywhere で成り立つことと同値である。
• 一般条件が導出された：$g(t,\eta_t,0) = 0$ $P$-a.s. がすべての $\eta \geq L$ および $P$-a.s. で成り立つことと、$[t,\sigma_t]$ で定数パス $Y_s = \eta_t$ を持つRBSDEの解が存在することは同値である。