[論文レビュー] Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras

Florent Hivert, Thiéry, Nicolas M.|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称群およびそのヘケ代数に関連する3つの代数の表現論を展開する。代数は、互換とソーティング作用素で生成されるもの、非減少関数のモノイド代数、非減少パーキング関数のモノイド代数である。単純加群および射影加群の構造を明示的に記述し、カルタン写像を計算し、誘導および制限に関するグローバー代数およびコアルゲブラを同定することで、準対称関数および非可換対称関数の新たな解釈をもたらし、新たな基底を導入する。

ABSTRACT

We study the representation theory of three towers of algebras which are related to the symmetric groups and their Hecke algebras. The first one is constructed as the algebras generated simultaneously by the elementary transpositions and the elementary sorting operators acting on permutations. The two others are the monoid algebras of nondecreasing functions and nondecreasing parking functions. For these three towers, we describe the structure of simple and indecomposable projective modules, together with the Cartan map. The Grothendieck algebras and coalgebras given respectively by the induction product and the restriction coproduct are also given explicitly. This yields some new interpretations of the classical bases of quasi-symmetric and noncommutative symmetric functions as well as some new bases.

研究の動機と目的

• 対称群およびそのヘケ代数に関連する3つの代数の族の表現論を研究すること。
• これらの代数における単純加群および非分解射影加群の構造を記述すること。
• カルタン写像および誘導・制限に関するグローバー代数を計算すること。
• 古典的基底の準対称関数および非可換対称関数に対する新たな解釈を提供すること。
• これらの代数の文脈で新たな基底を導入すること。

提案手法

• 本稿は3つの代数の族を構成する。1つは基本的互換とソーティング作用素で生成されるもの、1つは非減少関数からなるモノイド代数、1つは非減少パーキング関数からなるモノイド代数である。
• 各代数の表現論は、射影加群および単純加群を含む加群論的技法を用いて分析される。
• カルタン不変量行列が明示的に計算され、ブール格子およびゲルファンド＝ツェトリン格子との関係が明らかにされる。
• 誘導および制限作用素からグローバー代数およびコアルゲブラ構造が導出され、積および余積の明示的公式が得られる。
• 非減少パーキング関数代数の極を modulo した商代数と0-ヘケ代数との同型が確立される。
• 射影加群の構造は外積と部分集合上の格子順序を用いて記述され、グレアマニアン格子との分解同型が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 互換とソーティング作用素で生成される代数の表現論は、対称群およびそのヘケ代数のそれとどのように比較できるか。
• RQ2 非減少関数のモノイド代数における単純加群および射影加群の構造は何か。
• RQ3 3つの族のグローバー環は、準対称関数および非可換対称関数の古典的基底とどのように関係するか。
• RQ4 これらの族におけるグローバー代数およびコアルゲブラ構造からどのような新たな基底が生じるか。
• RQ5 非減少パーキング関数代数における加群の制限および誘導則は、0-ヘケ代数におけるそれとどのように比較できるか。

主な発見

• 代数 ${\operatorname{H\mathfrak{S}}_{n}}$ が0-ヘケ代数 ${\operatorname{H}_{n}}(0)$ に同型であることが示され、同じ単純加群を共有する。
• 非減少パーキング関数代数には、成分 $I$ によって添え字付けられた $2^{n-1}$ 個の1次元単純加群 $S_I$ が存在し、作用は降下集合によって決定される。
• 非減少パーキング関数代数の射影加群 $P_I$ は非分解的であり、成分によって添え字付けられており、$\mathbb{C}^n$ の外積における幾何的実現が存在する。
• 非減少パーキング関数代数のカルタン写像 $C$ は $C(P_I) = \sum_{J: \operatorname{Des}(J) \leq_G \operatorname{Des}(I)} S_J$ で与えられ、ここで $\leq_G$ は部分集合上のゲルファンド＝ツェトリン順序である。
• 非減少パーキング関数代数のグローバー代数は非可換対称関数の代数 $\operatorname{NCSF}$ に同型であり、そのコアルゲブラ構造は $\operatorname{QSym}$ における余積に対応する。
• 誘導による単純加群から定義される新たな基底 $G_I$ が $\operatorname{NCSF}$ に導入され、射影加群のカルタン像から得られる新たな基底 $R_I$ が $\operatorname{NCSF}$ に得られる。